mercoledì, luglio 29, 2009

Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 14: Omar Khayyám e altri risultati della matematica islamica

Nella puntata precedente abbiamo visto come i matematici islamici introdussero nuova metodologia algebrica che reincorporava, almeno da un punto di vista pratico, l'idea pitagorica (Tutto è Numero) ed unificava numeri razionali, numeri irrazionali, e grandezze geometriche trattando tutte queste entità in gioco come "oggetti algebrici".

Dicevamo inoltre che un altro matematico islamico illustre, il cui contributo allo sviluppo della Matematica è forse paragonabile a quello di al-Khwārizmī è Omar Khayyám (Nīshāpūr 1048 – 1131 d.C.).


Omar Khayyám scrisse un libro sull'Algebra che estendeva i risultati dell'Al-Jabr di al-Khwārizmī includendo le equazioni di terzo grado. Per tali equazioni però Omar Khayyám fornì solamente soluzioni basate su metodi geometrici (intersezioni di coniche) credendo erroneamente che fosse impossibile trovare soluzioni basate su metodi aritmetici.
Soluzioni basate su metodi aritmetici vennero trovate quasi mezzo millennio dopo dal matematico italiano Scipione Dal Ferro. Anche se Niccolò Tartaglia, e Girolamo Cardano inscenarono un'accesa, patetica e gretta controversia per accaparrarsi la paternità dei metodi risolutivi.

Omar Khayyám fu anche un grande precursore dei tempi in campo geometrico. Un altro suo grande risultato consistette infatti nel primo tentativo di formualzione di un postulato non-Euclideo come alternativa al quinto postulato Euclideo sulle parallele. Questione che venne definitivamente risolta in Europa solo nel XIX sec. prevalentemente ad opera di Gauss e Riemann.
In qualche modo quindi Omar Khayyám, anche se un po' inconsapevolmente, fu il primo a considerare le Geometrie non-Euclidee. In particolare la Geometria ellittica e quella iperbolica, anche se Khayyám escluse la seconda.

Tra le altre curiosità della matematica islamica che andrebbero citate c'è sicuramente l'origine dell'uso del simbolo x come variabile incognita.
Parrebbe che questo uso si possa far risalire all'uso della parola araba “šay'” (شيء ), che significa “cosa”, nei testi di Algebra islamici (anche in Al-Jabr) a significare appunto "variabile incognita".
Tale parola entrò quindi nelle traduzioni in Spagnolo con la pronuncia “šei”, che veniva translitterata in “xei” e che presto venne abbreviata con una “x”.

Un altro primato che va anche citato è quello dell'uso per la prima volta della dimostrazione per induzione.
La prima occorrenza nota di tale metodo si trova nell'opera al-Fakhri, scritta intorno all'anno 1000 da Al-Karaji. Il metodo viene usato per dimostrare sequenze aritmetiche com il triangolo di Tartaglia.

Dalla prossima puntata abbandoneremo i matematici islamici per spostarci di nuovo verso l'Europa cristiana.

Indice della serie

sabato, luglio 25, 2009

Oslo 4: penisola di Bygdøy e musei

Lunedì 1 giugno: pomeriggio

Dalla piazza del municipio raggiungiamo il punto d'imbarco per Bygdøy, penisola della zona ovest di Oslo dove sorgono numerosi ed interessanti musei a tema soprattutto marittimo.

Il primo museo che visitiamo è il Vikingskipshuset (Museo delle navi vichinghe).
Il museo ospita tre grandi navi risalenti all'epoca vichinga: la nave di Oseberg, la nave di Gokstad e la nave di Tune.

Lo stato di conservazione delle navi è stpufacente. Il motivo principale di tale ottima conservazione risiede sicuramente nel fatto che esse furono usate come bare e vennero quindi totalmente interrata insieme alle salme e al corredo funerario dei propri propietari.
Le imbarcazioni furono ritrovate nella loro interezza, ma la pressione costante del sovrastante cumulo terra per più di un millennio le aveva ridotte in frammenti: tutti ben conservati, ma un po' deformati. Per ricomporre il rompicapo le migliaia di frammenti dovettero essere sottoposti ad un trattamento a base di vapore acqueo atto a restituire ad essi la forma originaria.
Le navi vennero costruite in gran parte in legno di quercia.

La nave di Oseberg è forse quella meglio conservata. Si tratta di una drakkar.
Nel suo tumulo venne scoperto anche un ricco corredo funerario e due scheletri umani di donna. La data in cui la nave sarebbe stata trasportata all'interno del cumulo è successiva all'834. La nave venne rinvenuta e riportata alla luce tra il 1904 e il 1905.

Studi dendrocronologici fanno ritenere che la nave di Gokstad sia stata costruita con legname tagliato intorno all'890.
Va citato che nel 1893 una fedele ricostruzione di questa nave attraversò l'Oceano Atlantico, in un viaggio da Bergen a Chicago.
Oltre alla nave stessa e ad uno scheletro, fra i reperti venuti alla luce con gli scavi ci sono una tenda, una slitta e il necessario per cavalcare.

La nave di Tune, costruita intorno al 900, è quella che si trova nelle peggiori condizioni di conservazione.

Dopo il Vikingskipshuset visitiamo il Kon-Tiki Museet che conserva le due imbarcazioni con cui Thor Heyerdahl compì le sue imprese leggendarie: la Kon-Tiki e la Ra II.

Con la Kon-Tiki Heyerdahl voleva avvalorare la sua tesi (che poi non ebbe ulteriori riscontri) secondo cui la Polinesia sarebbe stata colonizzata dai Sudamericani, e in particolare dagli Inca, invece che dagli Asiatici.
A tal scopo costruì la Kon-Tiki (Kon nella mitologia inca era il dio della pioggia) assemblandola utilizzando esclusivamente le tecniche e i materiali di costruzione degli Inca e solo legno di balsa.

Nel 1947 la Kon-Tiki con il suo equipaggio di cinque persone salpò da Callao (Perù) trasportato dalla Corrente di Humboldt e dopo 101 giorni di viaggio e 4300 miglia nautiche, riuscirà ad approdare sull'atollo di Raroia.

La Ra II fu invece costruita utilizzando solo papiri. Con la Ra II Heyerdahl e un equipaggio di sette persone di sette nazionalità diverse salparono dal Marocco e raggiunsero Barbados in 57 giorni

Infine visitiamo il Frammuseet, che contiene essenzialmente solo la nave Fram che venne utilizzata in molte spedizioni polari, tra cui quella di Amundsen (1910-12) che nel 1911 raggiuse per primo il Polo Sud geografico.

Amundsen morì agli antipodi anni più tardi nel tentativo di recuperare l'amico-rivale Nobile.

Al ritorno dalla penisola di Bygdøy siamo convinti che la palma di popolo di navigatori spetti ai Norvegesi; ma noi potremo sempre consolarci con i santi e i poeti...

lunedì, luglio 20, 2009

La porta della legge - quasi un monologo circolare

Sottotitolo: chi di noi non ha avuto esperienze (semi)devastanti con la burocrazia (quasi una forma di tirannia)?

La burocrazia come minimale forma di tirannia: vendetta di infimi frustrati che bramano potere.
(... il tema viene anche accennato da Bianciardi ne "La vita agra", il cui audiolibro sto ascoltando in questi giorni...)

Io sono abbonato alla "newsletter" del teatro dell'opera (Opernhaus) di Mannheim.

L'ultima edizione mi ha lasciato stupito. Il 18 luglio avrebbero eseguito "La porta della legge - quasi un monologo circolare", opera di Salvatore Sciarrino del 2009, in prima quasi assoluta. La vera prima assoluta ha avuto luogo il 25 aprile 2009 nella Wuppertaler Opernhaus. Questa di Mannheim sarebbe stata un riproposizione della stessa messa in scena.


Direzione: Tito Ceccherini
Scenografia: Johannes Weigand
Video: Jakob Creutzburg

L'Uomo 1: Ekkehard Abele
L'Uomo 2: Gerson Sales
L'Usciere: Michael Tews

Non conoscevo nulla di Sicarrino e non avevo mai assistito all'esecuzione di un'opera moderna. Proprio per questo non volevo lasciarmi sfuggire l'occasione.
Zucchero era un pochino riluttante, ma ha comunque assecondato i miei desideri.

Ricerco su internet un po' di notizie relative all'opera e con mio grande stupore non trovo nulla in italiano, ma molto in tedesco e solo un articolo in inglese.
Addirittura sulla wikipedia italiana o inglese la voce relativa a Sicarrino non cita neppure l'opera. Wikipedia tedesca invece la cita.

Arriviamo all'Opernhaus un quarto d'ora prima dell'inizio. Sono molto curioso. Appena entrati compro il programma che contiene anche il libretto dell'opera oltre a informazioni varie.

Il libretto è tratto da un racconto di Kafka incorporato successivamente nel Processo.
Rifletto sul fatto che la situazione stessa in cui ci troviamo è un po' kafkiana: un libretto in italiano tratto da un racconto scritto in tedesco, eseguito in prima assoluta per un pubblico tedesco e cantato in italiano con sovrattitoli in tedesco.

Ci sistemiamo ai nostri posti. Alla mia destra siede un ragazzotto intorno ai 30 anni che prende appunti. Zucchero mi fa notare che anche il signore dietro di me prende appunti.


Comincio a riprendere l'inizio che ho qui incluso, ma la rumorosità della mia macchina fotografica, oltre a provocarci imbarazzo, mi scoraggia dal riprendere altri pezzi... oltre al fatto che la memoria mi si era riempita, visto che non avevo ancora scaricato le foto della Norvegia.

Nella Scena Prima l'Uomo 1 (baritono), di fronte alla porta della legge, chiede all'Usciere il permesso di entrare:
- forse più tardi, ora no!

La porta della legge è sempre aperta. L'Uomo 1 sbircia attraverso essa.

L'Usciere: Se L'attira tanto provi a passare! Attento, io sono soltanto l'ultimo! Ogni sala ha il suo usciere, uno più potente dell'altro. Già col terzo neppure io riesco a parlare.

L'Uomo 1 cerca di corrompere l'Usciere:
- vediamo cosa si può fare, aspetti lì.

L'Uomo 1 invecchia in attesa del permesso di entrare. Prima di morire riesce a proferire un'ultima domanda.

- Che cosa vuole sapere ancora? Lei è insaziabile.
- Se tutti aspirano alla Legge, come mai in tutto questo tempo nessun altro ha chiesto di entrare? (morendo)
- Qui nessuno poteva entrare, la porta era destinata solo a te. Ora vado a chiuderla.

La Scena Seconda si svolge in modo simmetrico rispetto alla prima. A differenza della prima scena, qui la porta della legge si trova rivolta verso il pubblico, si chiude progressivamente e la scena è molto più illuminata. L'Uomo 2 (controtenore) ripete quasi le stesse parole all'Usciere.

Nella Scena Terza torna l'oscurità. Uomo 1 e Uomo 2 ripetono l'inizio duettando da una sorta di oltretomba mentre le loro immagini proiettate sulla parete della scena si moltiplicano rincorrendosi verticalmente.

"... ma questa non è una vera ripetizione; è invece lo sviluppo di un nuovo mondo di suoni con caratteristiche di ironia e disperazione. La progressione musicale fluisce in un continuo ed ha una periodicità interiore che quasi richiama una passacaglia."

"Attraverso questo dispositivo drammatico, la ripetizione della storia acquisisce la terribile prospettiva dell'esperienza universale che si rinnova immediatamente per un altra persona; ed è precisamente questa ripetizione che dà alla storia il suo carattere di metafisica inevitabilità."(*)

Per quanto riguarda la musica, il mio orecchio non sufficientemente allenato a percepire le tecniche della musica contemporanea si è perso le multifonie e gli intervalli microtonali vari.

(*)

giovedì, luglio 16, 2009

Patate viola

Un paio di giorni fa ho fatto la solita spesa nel negozio di generi alimentari italiani vicino casa nostra.
Il proprietario del negozio è un signore di mezza età tedesco. La clientela consiste prevalentemente di ultra-cinquantenni della medio-alta borghesia del nostro quartiere medio-alto borghese.

Date le premesse non vi sorprenderete se vi dirò che i prezzi non sono dei più economici. Direi approssimativamente tra un 50% ed un 150% in più rispetto al prezzo che si pagherebbe in Italia.

A questo punto mi chiederete: ma perché fate la spesa lì?

La risposta è: ci compriamo solo quelle poche cose di cui non vogliamo fare a meno e che si trovano solo lì; e cioè gli affettati italiani freschi. Prevalentemente il prosciutto, ma più di rado anche il salame, la mortadella, il culatello e la bresaola.

Il resto della mercanzia italica ce lo procuriamo al mitico supermercato Pronto, gestito da una famiglia allargata siculo-tedesca.
Pronto aprì 7-8 anni fa circa e per i nostri palati di emigranti fu una vera cuccagna.

Dicevo quindi che un paio di giorni fa mentre faccio la solita spesa nel negozio di generi alimentari italiani vicino casa nostra mi capita di vedere delle strane patate: piccole e dalla forma bitorzoluta. Le patate in quel negozio sono qualcosa di inusuale. Mi incuriosico, mi avvicino e scorgo un foglio esplicativo.

Si tratterebbe di patate viola. Vista la mia curiosità il signore, in un incredibile ed inatteso slancio di generosità, me ne regala una decina.

Le ho cotte ed effettivamente il signore aveva ragione: rimangono viola anche dopo cotte e ricordano vagamente il gusto e la consistenza di una castagna lessa.
Per quanto riguarda il gusto però trovo che non siano nulla di speciale. Preferisco nettamente le classiche patate gialle.

Cercando con Google non ho trovata alcuna voce su Wikipedia. Ho trovato però molte occorrenze di articoli tipo: "La patata viola per prevenire i tumori".

Qualcuno di voi la conosceva già?

martedì, luglio 14, 2009

Oslo 3: Stortinget, Akershus e municipio

Lunedì 1 giugno

Dopo lo Slottet ci dedichiamo alla "strada-salotto": il Karl Johans gate: il corso di Oslo che collega lo Slottet alla stazione passando per l'università, il Nationaltheatret e il parlamento.

Il Parlamento (Stortinget) non è particolarmente interessante. Neppure la Domkirke lo è (soprattutto perché fasciata da impalcature per il restauro).

Dopo aver mangiato i panini dell'albergo ci dirigiamo verso la fortezza di Akershus.
Il caldo si è intensificato, e la salita, anche se breve, si fa sentire. Da lassù riusciamo a goderci un bel panorama di Oslo, del suo porto e della parte finale del suo fiordo (lungo circa un centinaio di Km).
Dato il giorno festivo e la giornata limpida il fiordo pullula di piccole imbarcazioni che lo attraversano in lungo e in largo. Ci accorgiamo che la Fujitsu ci manca...

Abbandoniamo la fortezza scendendo dal versante che dà sul municipio e sul porto. Lungo il percorso troviamo dei prati occupati da famigliole. Zucchero nota un'usanza locale che consiste nell'uso di una copertina di lana o cotone apparentemente manufatta, ma ad una più attenta analisi chiaramente prodotto industriale. La suddetta viene applicata al bordo superiore delle carrozzine a mo' di tendina parasole: baluardo per le candide e tenere cuti degli scandinavi pargoli. La copertina però, nella sua pratica ambivalenza, può essere anche usata, secondo le occorrenze climatiche, come normale protezione verso i venti e i repentini abbassamenti nordici di temperature.

Giunti sulla piazza del municipio ci troviamo di fronte al mastodontico e controverso edificio.
La prima domanda che ci si pone è: ma il municipio di Oslo ha più dipendenti del parlamento norvegese? Da una veloce stima nasometrica mi risulta infatti almeno tre o quattro volte più grande del parlamento.

Ci dirigiamo quindi verso il porto e ci imbarchiamo alla volta della penisola di Bygdøy dove sorgono numerosi ed interessanti musei a tema soprattutto marittimo.

giovedì, luglio 09, 2009

Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 13: i matematici islamici, l'Algebra e il ritorno di Pitagora

Nella puntata precedente abbiamo visto che il lavoro di al-Khwārizmī sulle equazioni algebriche portò alla nascita di un'opera che sarebbe divenuta un punto di riferimento per lo sviluppo dell'algebra moderna.

Stando a quello che J. J. O'Conner e E. F. Robertson scrivono nel MacTutor History of Mathematics archive, forse uno dei progressi più significativi dei matematici islamici fu proprio l'introduzione e lo sviluppo di una loro metodologia algebrica. Questo nuovo approccio algebrico rappresentava un nuovo rivoluzionario spostamento dalla concezione greco-platonica della Matematica, che era essenzialmente geometrica. La nuova metodologia algebrica reincorporava, almeno da un punto di vista pratico, l'idea pitagorica (Tutto è Numero) ed unificava numeri razionali, numeri irrazionali, e grandezze geometriche trattando tutte queste entità in gioco come "oggetti algebrici". Si potrebbe quindi a posteriori attribuire ai matematici islamici (un po' arbitrariamente) il motto ottenuto da una parafrasi di quello pitagorico: Tutto è Algebra.

I matematici islamici furono quindi i primi a trattare nella pratica i numeri irrazionali come oggetti algebrici. Anche se una vera giustificazione teorica rigorosa di tale prassi la troverà Dedekind diversi secoli dopo.
Ma come riuscirono a mettere in pratica ciò che non era riuscito ai pitagorici ? Beh, da un punto di vista puramente tecnico-sintattico non fecero nulla di eccezionale: accettarono semplicemente l'idea che anche le grandezze irrazionali, come la misura della diagonale del quadrato, potessero essere trattate alla stregua degli altri Numeri. Estesero quindi le operazioni aritmetiche alle grandezze irrazionali e si accorsero che le cose funzionavano. Visto a posteriori non sembra nulla di eccezionale; ma nella realtà tale idea impresse un fortissimo impulso al progresso della Matematica: il solito Uovo di Colombo.
A questo punto non posso esimermi dal compiere un enorme balzo in avanti nel tempo e citare John von Neumann, matematico del '900, tanto grande quanto moralmente discutibile:

"Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." (*)
"Ragazzo, nella Matematica le cose non si capiscono. Semplicemente ci si abitua ad esse."

Frase pronunciata in risposta ad un suo studente che chiedeva spiegazioni.

Quindi i matematici islamici semplicemente si "abituarono" a considerare e a trattare le grandezze irrazionali allo stesso modo dei numeri razionali.
La nuova metodologia algebrica risolveva quindi quella che era stata la causa del crollo del modello pitagorico. Voi mi direte, ma anche l'approccio platonico-euclideo risolveva la lacuna pitagorica. Sì, ma quello implicava un'interpretazione dei concetti numerici in un modello puramente geometrico. Il modello degli Islamici era invece puramente numerico.

Oltre ad al-Khwārizmī altri due nomi che vanno necessariamente citati per i loro contributi al nuovo approccio algebrico sono quelli di Abū Kāmil (850 d.C. – 930) e al-Karkhi (953 d.C. Karaj – 1029)

In particolare di Abū Kāmil (Shujā ibn Aslam), matematico egiziano, si può dire che sia stato il primo ad accettare i numeri irrazionali (spesso nella forma di radice quadrata, cubica o quarta) come soluzioni di equazioni quadratiche e come coefficienti di equazioni.

Un altro matematico islamico illustre, il cui contributo allo sviluppo della Matematica è forse paragonabile a quello di al-Khwārizmī è Omar Khayyám.
Ma questo lo vedremo nella prossima puntata.

Indice della serie

domenica, luglio 05, 2009

Cicatrici neurali

Immaginava di che natura potessero essere le sue candide cicatrici neurali. Si sarebbe però volentieri risparmiato un ulteriore approfondimento.

Il consiglio dei persuasori occulti venne eccezionalmente riunito in seduta plenaria: avrebbero usato i loro mezzi per ricondurlo sulla Via della Luce.

mercoledì, luglio 01, 2009

Oslo 2: Slottet e Fujitsu

Lunedì 1 giugno

Come suggerito dalla nostra guida, durante la colazione in albergo ci prepariamo dei panini per il pranzo: due dita di salmone e pomodoro per me e prosciutto cotto e pomodoro per Zucchero.

Zaini in spalla e panini negli appositi contenitori usciamo per la nostra prima visita di Oslo. Uno non se lo aspetterebbe da Oslo, ma fa caldo. Durante la notte abbiamo letteralmente sudato.

L'albergo si trova vicino al palazzo reale (Slottet).

Nel nostro percorso verso il porto passiamo quindi per lo Slottet che è circondato da un bel parco.

Circumnavighiamo il palazzo scattando diverse fotografie.
Notiamo sorpresi che Sua Maestà Harald V di Norvegia concede generosamente l'uso dei propri giardini alle genti di Oslo: diversi sudditi prendono il sole in tenuta balneare.
Sia nella parte posteriore che in quella anteriore dello Slottet si possono ammirare un certo numero di guardie che compiono una sequenza di bizzarre figure coreografico-marziali che paiono succedersi in modo casuale.

Giunti alla giusta distanza dalla parte anteriore del palazzo voglio scattare una fotografia che comprenda tutto lo Slottet e un po' di giardino. È in quel momento che la mia amata Fujitsu mi abbandona definitivamente e siccome oggi è festivo (Pentecoste) dovremo necessariamente trascorrere la giornata senza fotografie.