Le lezioni di Eratocle: il teorema di Pitagora (seconda parte)

... segue da Le lezioni di Eratocle: il teorema di Pitagora (prima parte)

- Partiamo quindi dalla mera formula - disse Eratocle. - Come la esporresti?
- La formula - cominciò Eurito con un po' di esitazione - dice che se abbiamo un triangolo in cui un angolo sia retto, allora l'area del quadrato che costruiamo sul lato lungo è uguale alla somma dell'area dei quadrati costruiti sugli altri due lati.
- Bene Eurito, forse però ti conviene imparare alcuni termini in uso tra i matematici: un triangolo in cui un angolo sia retto viene chiamato triangolo rettangolo, il lato lungo di quel triangolo viene chiamato ipotenusa e gli altri due lati cateti.
Il ragazzo stilò delle annotazioni sulla sua tavoletta.
- Ora dovremo dimostrare che questa formula ha una validità universale - riprese Eratocle. - La tua fede sulla sua efficacia si basa solo sull'esperienza. Un'antichissima e rispettabile esperienza, ma si tratta pur sempre di esperienza.
- Non basta? - domandò Eurito.
- No - replicò Eratocle. - Chi ci garantisce che non possa saltare fuori un caso in cui la formula non è valida? Ed è proprio a questo che serve la dimostrazione. A mostrare con dei passaggi logici che quella formula ha un valore universale. - Eurito lo guardò smarrito.
- Per farmi comprendere meglio ti guiderò attraverso i passi della dimostrazione usando queste cinque tavolette. Cominciamo con la prima. Che forma ha questa tavoletta?

- Quella di un triangolo... rettangolo - rispose Eurito.
- Molto bene! - lo lodò il maestro. Il ragazzo aveva già appreso i termini necessari. - Considera prima di tutto che il ragionamento che sto per fare potrà essere ripetuto in modo identico per qualsiasi altro triangolo rettangolo - continuò Eratocle.

- E ora guarda questi altri tre triangoli rettangoli. Facendo coincidere le superfici ti accorgerai che essi sono identici al primo.
Su invito di Eratocle Eurito verificò l'eguaglianza tra i triangoli.
- Adesso disponili in modo tale che le ipotenuse vadano a formare i lati di un quadrato.
Dopo qualche tentativo a vuoto dell'allievo Eratocle declamò: - Prova disporre il primo triangolo in verticale con il vertice che punta verso nord, poi il secondo come se ruotassi il primo, fino a puntare il vertice verso ovest.
Eurito seguì l’indicazione di Eratocle.

- Ora ripeti un'operazione simile per il secondo triangolo. E poi per il terzo.

- Ho capito - disse il giovane. Puntò quindi il vertice del terzo triangolo verso sud.

E quello del quarto verso est.
Eurito osservò la figura per qualche istante. - Divina Atena! - esclamò improvvisamente il giovane.

...continua...