Le lezioni di Eratocle: il teorema di Pitagora (terza parte)

Segue da: Le lezioni di Eratocle: il teorema di Pitagora (seconda parte)
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Poi traslò i quattro triangoli ottenendo così il quadrato richiesto.

- Sei stato un po' lento ma comunque hai trovato la disposizione giusta - commentò Eratocle. - Ora guarda quel buco centrale e dimmi che cos'è.
- Un quadrato - rispose Eurito. - Sì, questo l'avrebbe capito anche un bambino - ribatté Eratocle. - Ma tu sapresti dirmi qualcosa sulla lunghezza del lato di quel quadrato?

Eurito studiò per un po' la figura, la copiò stilandola su una tavoletta cerata e quindi cominciò a scrivere delle lettere sui tre vertici del triangolo rivolto ad est. Poi aggiunse una lettera su un vertice del quadrato.
 - Credo che tu sia sulla buona strada - osservò Eratocle. - Dimmi che cosa hai in mente.
- Con le lettere che ho assegnato, AB sarebbe l'ipotenusa, BC il cateto lungo e CA il cateto corto. - Gli occhi di Eurito cercarono conferma in quelli del maestro.
- Giusto - disse Eratocle - vai avanti.
- Poi BD coincide con il cateto corto del triangolo che punta verso nord. Ma siccome abbiamo detto che i triangoli sono identici allora i cateti corti devono avere la stessa lunghezza e quindi CA = BD.
- Ottima deduzione - osservò Eratocle. - È rimasto da stabilire quanto è lungo il lato del quadrato. Che cosa puoi dire su DC?
Eurito rifletté per qualche istante. Il sguardo si spostava tra le figure di legno e quelle disegnate sulla tavoletta che aveva in mano. - Dèi dell'Olimpo! Si vede chiaramente che il cateto lungo BC è uguale al cateto corto CA più il lato del quadratino DC. - Quindi scrisse sulla tavoletta:

 BC = CA + DC

 - Ma allora DC è la lunghezza che manca al cateto corto per raggiungere la lunghezza del cateto lungo. Che posso anche scrivere come:

 DC = BC - CA

 - Buona conclusione Eurito! Mi compiaccio. Quando si è ben guidati i risultati non tardano ad arrivare. - Il giovane arrossì soddisfatto. - Con le conoscenze che abbiamo acquisito su questa figura e sulle relazioni tra le sue lunghezze, che cosa potremmo dire sul teorema di Pitagora? - l'incalzo Eratocle.
Eurito toccò i lati del triangolo in basso a destra e poi quelli del quadrato grande: - Be', il lato di questo quadrato coincide con l'ipotenusa di uno qualsiasi dei triangoli - disse ad un tratto. - Quindi questo non è altro che il quadrato costruito sull'ipotenusa.
- Benissimo! - esclamò Eratocle. - E poi? Come facciamo a dire che quel quadrato è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti? Eurito si concentrò sulla figure disegnate sulla tavoletta. Poi spostò la sua attenzione sulle figure di legno. Il tempo passava ma Eurito non sembrava avere idee.
- Visto che non riesci ad andare oltre, ti darò una mano - disse Eratocle. - Per prima cosa riempiamo quel buco centrale con questo tassello di legno. Ora la figura non contiene più buchi. La somma delle superfici di tutti i tasselli è uguale alla superficie del quadrato costruito sull'ipotenusa.

- Ho capito! - esclamo Eurito. - Se riuscirò a ridisporre quei tasselli in modo da ottenere esattamente i due quadrati costruiti sui cateti allora il teorema sarà dimostrato! - Le labbra di Eratocle si distesero in un amplio sorriso: stava riuscendo ad istruire bene quel giovane.
Dopo aver disposto e ridisposto più volte i tasselli Eurito guardò Eratocle con sguardo implorante.
 - Penso che tu debba ripartire dalla disposizione iniziale - disse Eratocle con un lieve sorriso. - Poi dovresti ruotare: il triangolo che punta verso ovest mantenendo fisso il vertice settentrionale e quello che punta verso sud mantenendo fisso il vertice meridionale.
Eurito ricostruì e ridispose.

Il giovane osservò a lungo la figura. A un tratto un bagliore comparve nei suoi grossi occhi scuri. Prese un'altra tavoletta, vi copiò la figura e aggiunse delle lettere. 

- AB più BC è uguale alla lunghezza del cateto lungo - disse con voce un po' affannata.

- Quindi se traccio il segmento DE otterrò che anche la somma di DE più CD è uguale alla lunghezza del cateto lungo. - Ma allora la figura di lato AC è un quadrato; ed è proprio il quadrato costruito sul cateto lungo. D'altra parte il secondo quadrato, quello di lato DE - continuò Eurito in un crescendo - non è altro che il quadrato costruito sul cateto corto. Ecco dimostrato che spostando i tasselli del quadrato costruito sull'ipotenusa si ottiene proprio la somma dei quadrati costruiti sui cateti! - concluse il giovane non riuscendo a trattenere nelle ultime parole un vero e proprio grido di gioia.
- Bene - disse Eratocle dissimulando la sua emozione - la nostra prima lezione si sta rivelando molto proficua. - Questo modo di apprendere è completamente diverso rispetto a quello che avevo conosciuto sinora. Così è tutto molto più convincente; più appassionante.
- E questo è solo l'inizio - sottolineò Eratocle. - Il mio ciclo di lezioni ti condurrà attraverso mirabili percorsi colmi di prodigi e meraviglie. Presto ti accorgerai che i numeri sono la chiave per la completa comprensione dell'universo, o meglio sono l'espressione stessa della razionalità dell'universo. - Lo sguardo di Eratocle sembrava perdersi verso distanti orizzonti sempre più sfuocati. - Essi rappresentano la via e il mezzo per l'interpretazione del livello divino della realtà. - Eurito lo fissava con un misto di ammirazione e turbamento. - Sono essi il principio primo da cui noi abbiamo avuto origine; da cui la terra, gli astri e persino i nostri dèi hanno avuto origine. Il Numero! Esso è il demiurgo del noto e dell'ignoto.
In quel momento Trasibulo bussò alla porta: - Il maestro vi vuole parlare signore.
- Bene Eurito, per oggi possiamo concludere qui. Domani parleremo di numeri.