Segue da: Le lezioni di Eratocle: triangoli e terne
Quando Eratocle tornò, Eurito era talmente immerso nelle sue elucubrazioni sui triangoli da non accorgersi neppure della comparsa del maestro in aula.
- Eccomi di ritorno - disse Eratocle con voce piena. Il giovane allievo ebbe un sussulto. Dopo essersi seduto, il maestro estrasse dalla sacca una manciata di ciottoli modellati a forma di semisfera e li sparse sullo scrittoio. - Ed ecco quello che ci serve per la lezione sui numeri triangolari e quadrati.
I grandi occhi scuri di Eurito s'illuminarono. Il giovane notò che il grigio di alcuni ciottoli era molto più scuro: quasi nero.
- Tra poco ti mostrerò una strabiliante scoperta a cui il maestro è arrivato poche lune fa. Ma prima dovrò illustrarti un'altra scoperta fondamentale per noi matematici. Una scoperta il cui disvelamento è cominciato poco più di un anno fa con una geniale intuizione del maestro nella bottega di Gerone. Intuizione confermata poco tempo dopo attraverso un esperimento con corde e dischi che ha coinvolto Pitagora, Ippaso e... Teano - concluse rapidamente Eratocle dopo un'esitazione, pronunciando l'ultimo nome con un tono aspro.
La scoperta che Eurito stava per apprendere avrebbe rivoluzionato il destino dell'umanità nei secoli e nei millenni a venire. Ma in quel momento solo gli dèi avrebbero potuto immaginarlo.
Eratocle raccontò tutta la storia a Eurito esaltando alcuni particolari, come quello della sua idea, molto apprezzata dal maestro, del numero come entità concreta e non astratta; e sminuendone altri, come il contributo di Ippaso e Filolao. Nel racconto affiorarono chiaramente anche la grande fede di Eratocle nell'aspetto divino del numero, e la sua contrarietà all'ammissione delle donne nella scuola.
- Con la scoperta che ti ho appena illustrato - proseguì Eratocle - il maestro si è accorto dell’importanza fondamentale dei numeri uno, due, tre e quattro e del loro ruolo centrale nel rapporto con i suoni. L'idea del maestro, che io condivido pienamente, è che non solo i numeri sono il principio primo dell'universo, essi ne sono anche il principio materiale. In altre parole, oltre ad averlo generato, i numeri rappresentano anche i costituenti fisici dell'universo - affermò Eratocle sotto lo sguardo stupefatto e incredulo di Eurito. - Tutto ciò che osserviamo è composto di numeri - declamò infine il maestro - e te ne renderai conto sempre di più man mano che andremo avanti con le lezioni. Ma tornando al discorso sui numeri triangolari e quadrati, ora dovresti avere tutte le informazioni che ci servono per affrontare la lezione. Se non hai altre domande adesso ti introdurrò questo nuovo stupefacente capitolo di scoperte. - L’impazienza di Eurito si palesò nella rapidità con cui egli scosse la testa.
- Tra le più proficue ricerche in cui Pitagora si è impegnato per trovare altre evidenze della mirabile relazione che collega numeri e suoni c’è sicuramente quella ottenuta con la disposizione di questi ciottoli. Ora proveremo a ripeterla. Partiremo da questo ciottolo scuro - disse il maestro disponendo il primo ciottolo sullo scrittoio. - Quanti ciottoli chiari dovrai affiancargli per formare un piccolo quadrato? - chiese quindi Eratocle.
Eurito prese tre sassolini e li dispose intorno al primo. - Tre - disse.
- E in totale quanti ciottoli abbiamo adesso?
- Quattro - rispose prontamente l’allievo.
- Ora prova a ingrandire quel quadrato aggiungendo altri ciottoli. Eurito prese cinque sassolini e li dispose intorno al quadrato. - Ne ho aggiunti cinque e ora in tutto ne abbiamo nove - disse anticipando la domanda del maestro.
- E se vuoi ingrandire ancora?
- Ne aggiungo sette e ne ottengo sedici.
- Bene. Ora prova a scrivere la lista di numeri che hai aggiunto ad ogni passo. Eurito prese una tavoletta e scrisse.
3 5 7
- E all'inizio di questa sequenza possiamo anche aggiungere uno, visto che siamo partiti da un ciottolo - osservò Eratocle. - Ti sembra che questi numeri abbiano una proprietà in comune?
- Be', sono tutti dispari.
- Ora prova invece a scrivere la lista dei ciottoli totali che hai ottenuto ad ogni passo.
Eurito aggiunse la lista sotto all'altra.
4 9 16
- E adesso vedi qualche altra proprietà comune?
Eurito ci pensò su per qualche istante.
- Prova a pensare che al primo passo avevamo un solo sassolino, al secondo quattro, al terzo nove e al quarto sedici.
Eurito guardò per un po' la tavoletta.
- Prova a scrivere due liste sovrapposte: quella del numero dei passi e quella delle somme ottenute.
Eurito scrisse le due liste.
1 2 3 4
1 4 9 16
Le guardò passando il dito da una lista all'altra. - Ho capito! - esclamò infine. - Il numero di ogni somma coincide con il numero del passo moltiplicato per se stesso - e registrò la sua osservazione sulla tavoletta.
4 = 2 x 2
9 = 3 x 3
16 = 4 x 4
- Bravissimo! - lo lodò Eratocle. - Vedi come da una disposizione di questi sassolini abbiamo ottenuto due sequenze di numeri: quella dei numeri dispari e quella dei numeri quadrati.
- Numeri quadrati? - ripete Eurito aggrottando la fronte.
- Sì, "numeri quadrati" li ha voluti chiamare Pitagora. Proprio perché ognuno di essi è associato a un quadrato. E ad ogni passo il numero di sassolini che compongono il lato del quadrato è uguale al numero del passo. Quindi quattro è il quadrato di due, nove è il quadrato di tre, sedici è il quadrato di quattro e così via. E l'altro aspetto interessante è che queste due sequenze sono legate da una relazione.
- È vero! - esclamo Eurito dopo un attimo di silenzio. E immediatamente stilò la relazione sulla tavoletta.
4 = 1 + 3
9 = 1 + 3 + 5
16 = 1 + 3 + 5 + 7
- Perfetto - disse Eratocle con tono conclusivo.
- Quindi questa sui numeri quadrati era l'informazione che ci serviva per andare avanti con la ricerca di quella formula? Quella che individua le terne di numeri che danno luogo ai triangoli rettangoli?
- Sì, quest'informazione sarebbe già sufficiente. Ma prima di riprendere quella ricerca vorrei completare questi esperimenti con i ciottoli mostrandoti un altro risultato per arrivare infine alla più strabiliante tra le scoperta effettuate da Pitagora usando questi strumenti.
Il volto di Eurito mostrava segni d’impazienza.
- Prova a ripetere tutta l'operazione usando due ciottoli neri per il primo passo invece di uno solo.
Eurito ridispose, aggiunse ciottoli, annotò e arrivò ad una nuova figura.
Poi mostrò le relazioni che aveva scritto sulla nuova tavoletta al maestro.
Ciottoli aggiunti ad ogni passo: sono tutti numeri pari
2 4 6 8
Passi e numero totale di ciottoli
1 2 3 4
2 6 12 20
Relazione tra il numero del passo e il totale
2 = 1 x 2
6 = 2 x 3
12 = 3 x 4
20 = 4 x 5
Relazione tra i ciottoli aggiunti ad ogni passo e il totale
6 = 2 + 4
12 = 2 + 4 + 6
20 = 2 + 4 + 6 + 8
- Inappuntabile - disse Eratocle.
- È questo allora l'ultimo risultato prima di tornare alle terne? - chiese Eurito.
- No Eurito, non ancora. Manca il risultato eccelso. Quello che ha portato Pitagora alla scoperta della sacra Tetraktys - rispose Eratocle con un’inquietante luce negli occhi. - E per ricostruire quel risultato dovresti ripetere l'operazione di prima partendo di nuovo da un ciottolo nero e aggiungendone altri ma in modo da formare questa volta dei triangoli equilateri.
- Triangoli equilateri?
Quando Eratocle tornò, Eurito era talmente immerso nelle sue elucubrazioni sui triangoli da non accorgersi neppure della comparsa del maestro in aula.
- Eccomi di ritorno - disse Eratocle con voce piena. Il giovane allievo ebbe un sussulto. Dopo essersi seduto, il maestro estrasse dalla sacca una manciata di ciottoli modellati a forma di semisfera e li sparse sullo scrittoio. - Ed ecco quello che ci serve per la lezione sui numeri triangolari e quadrati.
I grandi occhi scuri di Eurito s'illuminarono. Il giovane notò che il grigio di alcuni ciottoli era molto più scuro: quasi nero.
- Tra poco ti mostrerò una strabiliante scoperta a cui il maestro è arrivato poche lune fa. Ma prima dovrò illustrarti un'altra scoperta fondamentale per noi matematici. Una scoperta il cui disvelamento è cominciato poco più di un anno fa con una geniale intuizione del maestro nella bottega di Gerone. Intuizione confermata poco tempo dopo attraverso un esperimento con corde e dischi che ha coinvolto Pitagora, Ippaso e... Teano - concluse rapidamente Eratocle dopo un'esitazione, pronunciando l'ultimo nome con un tono aspro.
La scoperta che Eurito stava per apprendere avrebbe rivoluzionato il destino dell'umanità nei secoli e nei millenni a venire. Ma in quel momento solo gli dèi avrebbero potuto immaginarlo.
Eratocle raccontò tutta la storia a Eurito esaltando alcuni particolari, come quello della sua idea, molto apprezzata dal maestro, del numero come entità concreta e non astratta; e sminuendone altri, come il contributo di Ippaso e Filolao. Nel racconto affiorarono chiaramente anche la grande fede di Eratocle nell'aspetto divino del numero, e la sua contrarietà all'ammissione delle donne nella scuola.
- Con la scoperta che ti ho appena illustrato - proseguì Eratocle - il maestro si è accorto dell’importanza fondamentale dei numeri uno, due, tre e quattro e del loro ruolo centrale nel rapporto con i suoni. L'idea del maestro, che io condivido pienamente, è che non solo i numeri sono il principio primo dell'universo, essi ne sono anche il principio materiale. In altre parole, oltre ad averlo generato, i numeri rappresentano anche i costituenti fisici dell'universo - affermò Eratocle sotto lo sguardo stupefatto e incredulo di Eurito. - Tutto ciò che osserviamo è composto di numeri - declamò infine il maestro - e te ne renderai conto sempre di più man mano che andremo avanti con le lezioni. Ma tornando al discorso sui numeri triangolari e quadrati, ora dovresti avere tutte le informazioni che ci servono per affrontare la lezione. Se non hai altre domande adesso ti introdurrò questo nuovo stupefacente capitolo di scoperte. - L’impazienza di Eurito si palesò nella rapidità con cui egli scosse la testa.
- Tra le più proficue ricerche in cui Pitagora si è impegnato per trovare altre evidenze della mirabile relazione che collega numeri e suoni c’è sicuramente quella ottenuta con la disposizione di questi ciottoli. Ora proveremo a ripeterla. Partiremo da questo ciottolo scuro - disse il maestro disponendo il primo ciottolo sullo scrittoio. - Quanti ciottoli chiari dovrai affiancargli per formare un piccolo quadrato? - chiese quindi Eratocle.
Eurito prese tre sassolini e li dispose intorno al primo. - Tre - disse.
- Quattro - rispose prontamente l’allievo.
- Ora prova a ingrandire quel quadrato aggiungendo altri ciottoli. Eurito prese cinque sassolini e li dispose intorno al quadrato. - Ne ho aggiunti cinque e ora in tutto ne abbiamo nove - disse anticipando la domanda del maestro.
- Ne aggiungo sette e ne ottengo sedici.
- Bene. Ora prova a scrivere la lista di numeri che hai aggiunto ad ogni passo. Eurito prese una tavoletta e scrisse.
3 5 7
- E all'inizio di questa sequenza possiamo anche aggiungere uno, visto che siamo partiti da un ciottolo - osservò Eratocle. - Ti sembra che questi numeri abbiano una proprietà in comune?
- Be', sono tutti dispari.
- Ora prova invece a scrivere la lista dei ciottoli totali che hai ottenuto ad ogni passo.
Eurito aggiunse la lista sotto all'altra.
4 9 16
- E adesso vedi qualche altra proprietà comune?
Eurito ci pensò su per qualche istante.
- Prova a pensare che al primo passo avevamo un solo sassolino, al secondo quattro, al terzo nove e al quarto sedici.
Eurito guardò per un po' la tavoletta.
- Prova a scrivere due liste sovrapposte: quella del numero dei passi e quella delle somme ottenute.
Eurito scrisse le due liste.
1 2 3 4
1 4 9 16
Le guardò passando il dito da una lista all'altra. - Ho capito! - esclamò infine. - Il numero di ogni somma coincide con il numero del passo moltiplicato per se stesso - e registrò la sua osservazione sulla tavoletta.
4 = 2 x 2
9 = 3 x 3
16 = 4 x 4
- Bravissimo! - lo lodò Eratocle. - Vedi come da una disposizione di questi sassolini abbiamo ottenuto due sequenze di numeri: quella dei numeri dispari e quella dei numeri quadrati.
- Numeri quadrati? - ripete Eurito aggrottando la fronte.
- Sì, "numeri quadrati" li ha voluti chiamare Pitagora. Proprio perché ognuno di essi è associato a un quadrato. E ad ogni passo il numero di sassolini che compongono il lato del quadrato è uguale al numero del passo. Quindi quattro è il quadrato di due, nove è il quadrato di tre, sedici è il quadrato di quattro e così via. E l'altro aspetto interessante è che queste due sequenze sono legate da una relazione.
- È vero! - esclamo Eurito dopo un attimo di silenzio. E immediatamente stilò la relazione sulla tavoletta.
4 = 1 + 3
9 = 1 + 3 + 5
16 = 1 + 3 + 5 + 7
- Perfetto - disse Eratocle con tono conclusivo.
- Quindi questa sui numeri quadrati era l'informazione che ci serviva per andare avanti con la ricerca di quella formula? Quella che individua le terne di numeri che danno luogo ai triangoli rettangoli?
- Sì, quest'informazione sarebbe già sufficiente. Ma prima di riprendere quella ricerca vorrei completare questi esperimenti con i ciottoli mostrandoti un altro risultato per arrivare infine alla più strabiliante tra le scoperta effettuate da Pitagora usando questi strumenti.
Il volto di Eurito mostrava segni d’impazienza.
- Prova a ripetere tutta l'operazione usando due ciottoli neri per il primo passo invece di uno solo.
Eurito ridispose, aggiunse ciottoli, annotò e arrivò ad una nuova figura.
2 4 6 8
Passi e numero totale di ciottoli
1 2 3 4
2 6 12 20
Relazione tra il numero del passo e il totale
2 = 1 x 2
6 = 2 x 3
12 = 3 x 4
20 = 4 x 5
Relazione tra i ciottoli aggiunti ad ogni passo e il totale
6 = 2 + 4
12 = 2 + 4 + 6
20 = 2 + 4 + 6 + 8
- Inappuntabile - disse Eratocle.
- È questo allora l'ultimo risultato prima di tornare alle terne? - chiese Eurito.
- No Eurito, non ancora. Manca il risultato eccelso. Quello che ha portato Pitagora alla scoperta della sacra Tetraktys - rispose Eratocle con un’inquietante luce negli occhi. - E per ricostruire quel risultato dovresti ripetere l'operazione di prima partendo di nuovo da un ciottolo nero e aggiungendone altri ma in modo da formare questa volta dei triangoli equilateri.
- Triangoli equilateri?
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