Borges e la topologia della Biblioteca di Babele: un 3-toro o un labirinto infinito?

Articolo ispirato dalla puntata L’arte della matematica di Radio3 Scienza.

Nel racconto La biblioteca di Babele, Jorge Luis Borges descrive una biblioteca-universo fatta di gallerie esagonali, tutte uguali, collegate da corridoi, scale e pozzi centrali.

Da qualunque esagono si intravedono piani superiori e inferiori, destri e sinistri, anteriori e posteriori: senza fine. Ogni settore ripete esattamente lo stesso schema.

La si potrebbe immaginare come una biblioteca infinita. Vai avanti o indietro e trovi altri esagoni; vai a destra o a sinistra e ne trovi altri ancora; sali e scendi e il paesaggio continua identico. Tuttavia, Borges aggiunge un dettaglio: ipotizza che la biblioteca sia non soltanto illimitata, ma anche periodica. In altre parole, un viaggiatore eterno, proseguendo abbastanza a lungo, ritroverebbe gli stessi libri nello stesso ordine.

Ma quindi Borges sta parlando la lingua della matematica? E in particolare quella della geometria e della topologia?

 

Struttura geometrico-topologica

In matematica, una struttura del genere ricorda un 3‑toro. Detto in termini più semplici, il toro è una ciambella. Ma quella di Borges potrebbe essere una ciambella con una dimensione in più rispetto alle ciambelle che conosciamo. È una ciambella in uno spazio a quattro dimensioni. E ha una precisa equazione matematica:

In un 3-toro, se cammini sempre nella stessa direzione, torni al punto di partenza: è quello che succede su una circonferenza o a una formica che cammini sul nastro di Möbius.

 

 Il 3‑toro aggiunge però una terza direzione rispetto al nastro di Möbius: avanti/indietro, destra/sinistra, alto/basso diventano tutte direzioni che, in un certo senso, si richiudono. Una lettura matematica del racconto sostiene che la frase finale di Borges implicherebbe esattamente questa struttura.
Ed è quanto afferma Marcus du Sautoy nella puntata radiofonica dedicata al rapporto tra arte e matematica: la Biblioteca di Babele potrebbe essere rappresentata come una ciambella in uno spazio a quattro dimensioni.

Non è stupefacente che Borges, con la sua immaginazione, costruisca narrativamente un mondo che poi viene riconosciuto dalla topologia? Borges parte da un bibliotecario, da scale e da esagoni ed evoca una geometria non euclidea.

Tuttavia, l’intuizione merita una piccola precisazione matematica.

La supposta forma toroidale della biblioteca implicherebbe che, muovendosi abbastanza a lungo in una direzione, si dovrebbe tornare esattamente al punto di partenza dopo un tempo finito.

Borges, tuttavia, non lo afferma mai. Nel racconto la biblioteca viene descritta come “interminabile” e, solo nel finale, il narratore avanza l’ipotesi che sia “illimitata e periodica”: un viaggiatore eterno, attraversandola per secoli, finirebbe prima o poi per ritrovare gli stessi volumi nello stesso disordine. 

Quindi si tratta di un 3-toro o no? Voi che ne pensate?

 

La libreria contiene infiniti libri?

La biblioteca di Borges sembrerebbe quindi infinita, ma i libri possibili non lo sono nel senso stretto: il narratore precisa che i simboli ortografici sono venticinque e che i libri sono costruiti combinando un numero finito di segni in un formato fisso. Dunque il numero totale dei libri possibili è enorme ma comunque finito. Non esistono infiniti libri diversi.

Eppure, questo non impedisce alla biblioteca di essere infinita. Se lo spazio degli esagoni si estende senza limite, allora gli stessi libri devono necessariamente comparire più volte: le copie possono essere infinite, anche se i contenuti distinti non lo sono. Non l’infinito dei libri, ma l’infinita ripetizione delle combinazioni possibili. Questo significa che la biblioteca nasce dall’incrocio di due idee: uno spazio sterminato e un repertorio finito di combinazioni.

La libreria come sfera con centro ovunque e circonferenza irraggiungibile

A rendere tutto ancora più borgesianamente interessante c’è la famosa immagine della biblioteca come sfera il cui centro è ovunque e la cui circonferenza è irraggiungibile. È una frase che sposta il problema dal “quanto è grande?” al “che cosa significa stare dentro un universo senza un vero bordo accessibile?”. In una biblioteca così, nessun punto è privilegiato e ogni esagono può sembrare centrale.

Conclusione

Collegare Borges alla matematica, come accade nella puntata L’arte della matematica di Radio3 Scienza, ispirata dal lavoro di Marcus du Sautoy, significa anche esplorare come alcune idee letterarie sanno evocare strutture matematiche profonde.

La letteratura evoca e la matematica aiuta a dare un nome a quanto intuito. Tra le due un racconto che non si limita a narrare il mondo, ma che inventa una forma per immaginarlo.