lunedì, marzo 30, 2015

Epitaffio a Dulcinea

Dopo quasi sette anni e qualche migliaio di chilometri di viaggi insieme la mia cara Dulcinea mi ha lasciato.
O meglio, se la sono portata via. Al suo posto ho trovato i resti metaforici di una catena spezzata.
Nei prossimi giorni, o forse dopo Pasqua, dovrò procurarmi una degna erede. E, visto che  non ho cambiato idea dal 2008, l'erede sarà rigorosamente da donna.
Il misfatto è avvenuto nottetempo difronte alla biblioteca universitaria. Avevamo lasciato le bici lì perché, dopo una cena, a tarda ora, e viste le temperature, abbiamo preferito approfittare del passaggio di un'amica. La bici di Zucchero fortunatamente non è stata toccata.

mercoledì, marzo 25, 2015

Qual è il sesso dei numeri? E il numero preferito? E il numero più comune?

Se vi chiedessi qual è il vostro numero preferito che rispondereste? E se vi chiedessi se i numeri hanno un sesso?
Nel mio caso le mie risposte hanno coinciso in ambo i casi con le risposte della maggioranza degli intervistati.
Mi direte: ma che senso ha la domanda se i numeri abbiano un sesso? Bene, allora restringiamo il campo. I dispari sono maschili o femminili? Restringiamo ancora. Il numero 1 è maschile o femminile? E il 2?
Se volete rispondere senza essere influenzati fatelo ora, nei commenti, prima di leggere la fine di questo post.
Le risposte che troverete alla fine provengono dal libro di Alex Bellos pubblicato in italiano con il titolo I numeri ci somigliano. Libro che non ho letto. Ho ascoltato però l'intervista a Bellos di Radio3 Scienza del 17 marzo. Oltre alla domanda sul sesso dei numeri e sul numero preferito, durante l'intervista si parla di una legge matematica che ha dell'incredibile. La legge di Benford. Se uno vi dicesse prendiamo una tabella contenente tutti i numeri di abitanti di tutti i comuni italiani. Avreste una tabella con più di ottomila numeri. Dal 36 (il numero di abitanti di Pedesina) al 2.872.086 (il numero di abitanti di Roma). Se qualcuno vi chiedesse: preso un numero a caso da quell'insieme, qual è la probabilità che quel numero cominci con la cifra 1? (Come, ad esempio, il numero di abitanti del mio paese che, nell'anno in cui sono nato, era poco sopra ai 1900)

A intuito penso che tutti considereremmo il problema come equivalente al lancio di un ipotetico dado a nove facce con una possibilità (quella di avere 1 come prima cifra) su nove cifre, quindi 1/9. Cioè circa l'11,11% di probabilità che un numero scelto a caso cominci con la cifra 1. Allo stesso modo, circa l'11,11% di probabilità che quel numero cominci con la cifra 2, e così via.
E invece guardate qua! Il 31% di quei numeri cominciano con la cifra 1, il 16,9% con la cifra 2, il 12,9% con la cifra 3, e così a scendere.

E la cosa interessante è che questa non è una caratteristica dei comuni italiani. Qualsiasi altro insieme di dati reali "sufficientemente grande" e "sufficientemente distribuito su diversi ordini di grandezza" dovrebbe seguire la distribuzione stabilita da questa legge.
Ad esempio, se considero le cifre dei conti in banca di tutti i conti correnti italiani dovrei ottenere quella distribuzione. Ma, sorprendentemente, anche se converto quei numeri in dollari, o in yen, o in sterline dovrei ottenere sempre quella distribuzione!

E allora qualcuno ha pensato: perché non usare questa legge per scovare le frodi? Con l'idea che, di solito, chi froda non conosce questa legge e tende a inserire numeri con cifre equamente distribuite. Ed effettivamente negli Stati Uniti la legge di Benford è stata accettata come prova nella contabilità forense.
Ma allora come non dire che quello dello scovatore di frodi non sia un lavoro da matematici?
E quindi anch'io mi sono messo al lavoro e ho creato una tabella con i dati relativi al mio conto corrente. Ho preso i dati degli ultimi mesi, poco più di cento numeri, e li ho riassunti nella tabella sottostante. Nella prima colonna c'è la cifra, nella seconda il numero di volte che occorre come prima cifra dei vari numeri presenti nel mio conto corrente, poi la percentuale sul totale e infine la percentuale secondo la legge di Benford.

Conto Legge
1 45 42,06%   30.1%
2 19 17,76%  17.6%
3 11 10,28%   12.5%
4 10 9,35%   9.7%
5 10 9,35%   7.9%
6 2 1,87%   6.7%
7 3 2,80%   5.8%
8 4 3,74%   5.1%
9 3 2,80%   4.6%

Come vedete, le cifre che si discostano di più dalla legge sono l'1, con una differenza del 12,5% in più, il 6, con poco meno del 5% in meno, e il 7, l'8 e il 9, che hanno tutti meno occorrenze rispetto ai valori previsti dalla legge.
Ora sono un po' incerto se giudicare questo andamento come accettabilmente aderente alle previsioni della legge di Benford o se avviare una battaglia legale per frode nei confronti della mia banca. Posso considerare un insieme di 107 numeri "sufficientemente grande"? E soprattutto, posso considerare l'insieme dei numeri del mio conto "sufficientemente distribuito su diversi ordini di grandezza? Direi di no. Di certo gli ordini di grandezza non sono così ampi come quelli dei comuni italiani. E allora per stavolta la banca si è salvata.

Ah, quasi dimenticavo i risultati del sondaggio. Allora, la stragrande maggioranza degli intervistati considera i dispari maschili e i pari femminili.
E il numero preferito è il numero 7.
Comunque, se volete conoscere dei tentativi d'interpretazione delle ragioni di tali risultati ascoltate l'intervista a Bellos di Radio3 Scienza del 17 marzo. Vi dico solo che «già nelle prime rappresentazioni numeriche, in Mesopotamia, la parola per il numero uno, ges, significava uomo, mentre min, due, voleva dire anche donna. Poi, nel VI secolo a.C., Pitagora rafforzò il concetto definendo "maschili" i numeri dispari e "femminili" i numeri pari».
Ebbene sì. Si torna sempre lì.

domenica, marzo 15, 2015

Carnevale della Matematica #83 - una speciale giornata del pi greco

È ormai il quarto anno consecutivo che DropSea ospita il Carnevale della matematica nella giornata del pi greco. E che giornata del pi greco quella di quest'anno! Nella data del 14 marzo espressa nel formato americano non troverete infatti solo le solite tre cifre del pi greco 314 ma troverete anche le altre due: 15. E se farete cominciare il carnevale alle 9:26, come ha fatto Gianluigi, riuscirete ad avere un'approssimazione a otto cifre. Peccato che blogger non consente di inserire i secondi nella data di pubblicazione, dice Gianluigi, altrimenti avremmo avuto altre due cifre.

Così Gianluigi introduce i miei contribuiti:

Dopo la letteratura, passiamo alla letteratura e alla musica con Flavio Ubaldini:
È noto che i pittori medioevali, soprattutto fino al XIII sec., non riuscivano a rappresentare molto bene la dimensione della profondità spaziale. Ma, a partire dal XIV secolo, la Prospettiva cominciò a imporsi. E il primo a ideare un metodo per rappresentare gli edifici in prospettiva fu...
Lo so che siete lì, che volete sapere "chi fu! chi fu!" E allora un solo consiglio, andate a leggere La nascita della prospettiva e i suoi aspetti geometrici.
Il buon Flavio manda anche un secondo contributo, il cui titolo dice (più o meno) tutto: Come è stato scelto il genere dei nomi tedeschi?. Ovviamente... "mathematics rules"!
L'ultimo contributo di Flavio è, infine, di genere musicale: in luogo dell'usuale (da qualche edizione) cellula melodica dedicata all'ordinale del carnevale, ecco invece la cellula melodica dedicata al 14 marzo 2015 senza versi. Solo con 3, 2 × 7 3 × 5
83 è un numero primo troppo grande per essere incluso nella cellula melodica gaussiana. Purtroppo la melodia gaussiana non è come la poesia: ha dei buchi. Pure se inserissimo i quarti di tono indiani prima o poi arriveremmo a un limite. L'unica soluzione sarebbe poter avere una variazione continua delle frequenze ma poi dovrei anche creare un nuovo modo per rappresentare le note

Il mese prossimo l'edizione numero 84 del 14 aprile 2015 (“il merlo melodioso canta, canta”) verrà ospitata da MaddMaths!

Calendario con le date delle prossime edizioni del Carnevale
Pagina del Carnevale su Facebook

domenica, marzo 08, 2015

Come è stato scelto il genere dei nomi tedeschi?

La condivisione di questa foto da parte di Fabio Ronci mi ha ispirato alcune considerazioni grammaticali/probabilistiche sul genere dei nomi tedeschi.
Commentando la simpatica immagine dicevo a Fabio che, volendo essere pignoli e dando per buoni questi dati: maschile 47%, femminile 40%, neutro 13% , per avvicinarsi un po' di più alla realtà delle percentuali del genere dei nomi tedeschi si sarebbero dovute assegnare tre delle facce dei dadi al der (50%), due al die (33% approssimando) e una al das (17%).
Poi ho pensato che ancor meglio sarebbe stato passare dal cubo del dado a sei facce all'ottaedro del dado a otto facce. Assegnando quattro facce al der (50%), tre al die (37,5%) e una al das (12,5%). E la domanda successiva non poteva che essere: con i tipi di dadi generalmente in uso qual è il numero di facce che meglio approssima quelle percentuali?
Sicuramente ci sarà un modo matematicamente rigoroso per affrontare il problema. Se qualcuno dovesse conoscerlo si faccia pure avanti. Io, pigramente, l'ho affrontato in modo euristico.
Uno potrebbe pensare che aumentando il numero di facce l'approssimazione migliori uniformemente. La tendenza dovrebbe essere quella ma, se passiamo dall'ottaedro del dado a otto facce al trapezoedro pentagonale del dado a dieci facce otteniamo un'approssimazione di: cinque facce al der (50%), quattro al die (40%) e una al das (10%). E questa approssimazione è migliore di quella del dado a otto facce? Forse dovremmo definire una metrica per decidere come si misura un'approssimazione. Un modo semplice potrebbe essere quello di considerare la somma delle differenze dalle percentuali precise. In questo modo zero sarebbe la misura dell'approssimazione migliore e, con il crescere della misura, peggiorerebbe l'approssimazione. Con questa misura, per l'ottaedro otterremmo 6 e anche per il dado a dieci facce otteniamo 6. Mentre per il dado tradizionale avevamo 14.
E se proviamo con il dodecaedro del dado a 12 facce otteniamo: sei facce (50%) al der, 4 (33%) al die e 2 (17%) al das. E cioè 14. La stessa approssimazione delle sei facce ma nettamente peggiore rispetto alle otto e alle dieci facce.
Certo se poi ci spingiamo verso le varianti più rare fino ad arrivare allo zocchihedron del dado a cento facce, in quel caso riusciamo a ottenere un'approssimazione perfetta con 47 facce al der, 40 al die e 13 al das.

mercoledì, marzo 04, 2015

La Terra dei fuochi e il masochismo degli Italiani

Se volete avere un'idea dei controlli effettuati per accertare l'effettiva tossicità dei prodotti della Terra dei fuochi vi invito ad ascoltare questa puntata di Radio3 Scienza.
"Mappature, sopralluoghi, campionamenti. E poi rilievi chimici, analisi della radioattività e della tossicità: tutto per distinguere i terreni coltivabili da quelli off-limits. La Terra dei fuochi torna ad essere argomento di cronaca ora che, dopo mesi di lavoro, vengono pubblicati i primi dati. Con quali esiti? I prodotti agricoli della zona sono davvero a rischio? Lo chiediamo a Marinella Vito, direttore tecnico dell'Arpa Campania."
Da quello che ne so l'Italia possiede uno dei sistemi migliori in Europa per il controllo delle contraffazioni e della non tossicità dei cibi. Diciamocelo qualche volta mettendo da parte il nostro innato masochismo che ci porta ad autoscreditarci in continuazione autogettandoci addosso palate di fango.

E relativamente al masochismo nazionale, che spesso osservo e di cui a volte sono vittima anch'io, molto istruttiva è questa puntata di Pane quotidiano con Vittorino Andreoli.
"Masochismo mascherato. Fede assoluta. Individualismo spietato. Sono alcuni dei sintomi che nel suo nuovo libro “Ma siamo tutti matti” Andreoli riscontra nel popolo italiano. Non una media dei vizi nazionali, ma un vero e proprio quadro clinico che rivela, con una “pietas” che è quasi un atto d’amore per l’Italia, le influenze del contesto storico e sociale sulla nostra psiche collettiva, perennemente in bilico tra normalità e follia."
Qui c'è pure una sua intervista.

E anche questa puntata di Fahrenheit: Italiani, vil razza dannata.
"Secondo i dati forniti dal Reputation Institute, gli italiani non si piacciono, non si vogliono bene: il nostro Paese è all'ultimo posto nella graduatoria della fiducia in sé stessi, nell'autostima. A cosa è dovuto tutto questo pessimismo? Lo chiediamo a Ilvo Diamanti, docente Scienza Politica e Comunicazione politica Università Urbino-Carlo Bo, ultimo libro Democrazia ibrida, Laterza 2014 e con Vittorino Andreoli, psichiatra e autore di Ma siamo matti. Un paese sospeso tra normalità e follia, Rizzoli 2015 e Elena Pulcini, docente di Filosofia politica nell’Università di Firenze, ultimo libro Invidia. La passione triste. I 7 vizi capitali, Il Mulino 2011."

domenica, marzo 01, 2015

Il rinascimento: la nascita della prospettiva e i suoi aspetti geometrici - Numeri e Geometria attraverso la storia

Nella puntata precedente abbiamo parlato dei progressi che  Niccolò Copernico e Georg Joachim Rheticus apportarono alla trigonometria. In particolare, Rheticus, con l'Opus palatinum de triangulis, pubblicato dopo la sua morte, fece raggiungere alla trigonometria un livello di maturità molto avanzato.
Ma, tornando indietro di qualche anno e cambiando settore della matematica, possiamo osservare che in Italia cominciarono a svilupparsi nuovi rapporti tra la geometria e le arti figurative. È noto che i pittori medioevali, soprattutto fino al XIII sec., non riuscivano a rappresentare molto bene la dimensione della profondità spaziale. Ma, a partire dal XIV secolo, la Prospettiva cominciò a imporsi. Dapprima, con Giotto (1267 – 1337) e Ambrogio Lorenzetti  (1290 – 1348) (Annunciazione - 1344), in modo piuttosto intuitivo, e in seguito, durante il Rinascimento, attraverso approcci più scientifici.




http://carnevalenrico.altervista.org/
Il primo a ideare un metodo per rappresentare gli edifici in prospettiva fu l'architetto fiorentino Filippo Brunelleschi (1377 - 1446)1. A lui si deve l'invenzione della prospettiva a punto unico di fuga. Attraverso studi ed esperienze condotte con l'aiuto di strumenti ottici, Brunelleschi elaborò un procedimento per rappresentare gli edifici in prospettiva. Grazie a Leon Battista Alberti (1404 - 1472) sappiamo che due tavolette di Brunelleschi andate perdute raffiguravano il battistero visto dalla porta di Santa Maria del fiore, la piazza della Signoria e palazzo Vecchio. Alberti, inoltre, produsse la prima trattazione scritta sulla prospettiva a noi pervenuta: il De Pictura (1434-1436).
http://www.istitutomaserati.it/ 
Tra le altre cose il trattato descrive un metodo ideato dallo stesso Alberti per rappresentare, nel piano del dipinto verticale, una serie di quadrati disposti nel piano del pavimento orizzontale.
Sia V il punto della veduta in cui è situato l'occhio, h la distanza dal pavimento e k la distanza dal piano del dipinto. L'intersezione del piano del pavimento con il piano del dipinto viene chiamato "la linea giacente", il piede C della perpendicolare tirata da V al piano del dipinto viene chiamato "centro della visione" o punto di fuga principale, la linea passante per C e parallela alla line giacente è nota come "linea di fuga", e i punti situati su questa linea alla distanza k da C sono chiamati "punti di distanza". Se prendiamo dei punti equidistanti tra loro lungo la linea giacente, e se tracciamo delle linee che uniscano questi punti con C, allora la proiezione di queste linee sul piano del pavimento formerà un insieme di linee parallele ed equidistanti. Se da V tracciamo linee di connessione con tali punti, in modo da formare un altro insieme di linee che intersecano il piano del dipinto in altri punti, e se per questi ultimi punti tracciamo delle parallele alla linea giacente, allora l'insieme di trapezi nel piano del dipinto corrisponderà a un insieme di quadrati nel piano del pavimento.
Un ulteriore progresso nello sviluppo della prospettiva venne effettuato da Piero della Francesca (1416/1417 circa - 1492) nel suo secondo trattato De prospectiva pingendiPiero della Francesca affrontò un problema più complesso rispetto a quello affrontato dall'Alberti. E cioè quello di dipingere nel piano del dipinto oggetti tridimensionali così come essi vengono visti da un dato punto di veduta. Il suo primo trattato, Trattato d'abaco, scritto trent'anni prima, era invece dedicato alla matematica applicata al calcolo commerciale. E il suo terzo e ultimo trattato, Libellus de quinque corporibus regularibus, è dedicato alla geometria e riprende temi antichi di tradizione platonico-pitagorica, come, ad esempio, il riferimento alla "divina proporzione" secondo la quale si intersecano le diagonali di un pentagono regolare. Nel trattato Piero della Francesca trova inoltre il volume comune a due cilindri circolari uguali i cui assi si intersecano ad angoli retti. E arriva a questo risultato senza conoscere il lavoro di Archimede Della sfera e del cilindro, ancora da riscoprire a quei tempi. Quindi, il Piero della Francesca che si studia solitamente nella storia dell'arte può essere considerato a tutti gli effetti anche un matematico.

Nella prossima puntata parleremo dei progressi della geometria dopo la riscoperta di alcuni degli antichi trattati geometrici che avvenne intorno alla metà del XVI secolo e dell'introduzione di nuovi simboli.

Puntate precedenti...

Indice della serie

1 Carl B. BoyerStoria della matematica, Oscar Saggi Mondadori