Segue da: Le lezioni di Eratocle: la sacra Tetraktys
La mattina successiva Eratocle arrivò alla scuola con un po' di ritardo. Entrò nell'aula e con una certa delusione la trovò vuota. Dopo qualche istante di attesa decise di concedersi una coppa d'idromele. Mentre stava rientrando in aula con la bevanda sentì dei passi veloci avvicinarsi alle sue spalle. Si voltò e vide Eurito che sopraggiungeva trafelato.
- Scusate maestro - disse il giovane non appena ebbe ripreso fiato. I suoi occhi scuri erano cerchiati da livide occhiaie. - Ho trascorso la notte a cercare il criterio per le terne - continuò passandosi una mano sui capelli crespi più ribelli del solito.
- Spero che un tale sforzo ti abbia almeno condotto alla scoperta del criterio - replicò Eratocle guardandolo severamente dall'alto della sua statura.
- Credo di sì - rispose timidamente il ragazzo.
- Bene. Illustrami quindi il ragionamento che ti ha condotto alla scoperta.
- Provo a riassumerlo - disse Eurito. - Sono partito dalla tavoletta a forma di triangolo rettangolo che abbiamo usato due giorni fa.
- Ho provato a sovrapporle i bastoncini che abbiamo usato ieri e mi sono accorto che le lunghezze dei suoi lati sono esattamente il doppio dei lati del triangolo rettangolo che abbiamo costruito con i bastoncini. Questi ultimi erano lunghi tre, quattro e cinque dita, mentre i lati della tavoletta sono sei, otto e dieci dita.
L'allievo mostrò al maestro la copia della figura che aveva stilato sulla tavoletta cerata. - Poi ho considerato che in entrambi i casi potevo applicare il teorema di Pitagora e usando anche i ciottoli mi sono ricollegato ai risultati visti ieri sui numeri quadrati. Così sono arrivato a capire che cosa intendevate quando avete detto che in questa relazione sussiste una triplice gioco di rimandi in cui figure geometriche esprimono numeri che a loro volta tornano ad esprimere nuove figure geometriche. Difatti il primo triangolo esprime i numeri 3, 4 e 5 e il secondo 6, 8, 10, e questi numeri generano attraverso i ciottoli delle nuove figure geometriche legate tra di loro dalla relazione del teorema di Pitagora.
- E dalla figura che ho riportato su quest'altra tavoletta si vede chiaramente che il quadrato di tre sommato al quadrato di quattro dà come risultato il quadrato di cinque. Poi ho riformulato il teorema di Pitagora attraverso le nuove nozioni sui numeri quadrati. E cioè, se un triangolo è rettangolo e se a, b e c sono le lunghezze dei lati allora:
il numero quadrato di a sommato al numero quadrato di b darà come risultato il numero quadrato di c.
- Così ho pensato che il criterio cercato dovrebbe essere proprio il teorema di Pitagora - concluse Eurito gettando uno sguardo indagatore al maestro. Eratocle annuì lievemente. - Credo però che per esserne certi dovremmo verificare che sussista anche il viceversa. Cioè se dati tre numeri a, b e c per cui vale la suddetta relazione, allora il triangolo generato dalle asticelle di lunghezza a, b e c è necessariamente rettangolo. - Il maestro annuì con più decisione. - Mi sono quindi messo alla ricerca di altre terne di numeri che soddisfacessero la relazione di Pitagora. La prima cosa che sono riuscito a dedurre, dal fatto che ogni numero della terna 6, 8, 10 è esattamente il doppio del rispettivo numero della terna 3, 4 e 5, è che si può ottenere una quantità illimitata di terne attraverso una semplice moltiplicazione dei tre numeri per un qualsiasi numero. Moltiplicando per 3 otterrei infatti la terna 9, 12 e 15 che soddisfa di nuovo il criterio. Moltiplicando per 4 otterrei 12, 16 e 20 che soddisfa di nuovo il criterio. E così via.
- Sì, questo è vero - confermò Eratocle. - Tuttavia, quella che hai trovato non è una dimostrazione. Hai solo trovato dei casi che confermano la tua ipotesi.
- No, ecco, su questa tavoletta ho anche scritto quella che dovrebbe essere una dimostrazione - rispose l'allievo porgendo la tavoletta al maestro. Eratocle la esaminò per un po' mentre Eurito si passava nervosamente lo stilo da una mano all'altra. - Ottima dimostrazione - sentenziò infine il maestro.
- Ho quindi verificato che 3, 4 e 5 è la terna più piccola tra quelle che soddisfano la relazione di Pitagora - riprese il ragazzo con foga.
- Anche questo è un risultato corretto - approvò Eratocle annuendo. - E vorrei soffermarmi un istante per sottolineare la bellezza dei numeri che caratterizzano questo triangolo. In esso troviamo che il 5, il simbolo del matrimonio, va ad unire il 3, dispari, simbolo del maschile e del limitato, al 4, pari, simbolo del femminile e dell'illimitato. Dimmi Eurito se questo triangolo non è una sintesi dell'armonia che concilia limitato e illimitato. - Il giovane annuì. - Ma vedo che hai anche altre tavolette - riprese il maestro.
- Sì, perché mi sono chiesto se ci fossero anche terne con la stessa proprietà ma che non si ottengono da una moltiplicazione di 3, 4 e 5. Dopo molti tentativi ho trovato 5, 12 e 13; ho costruito il triangolo e ho verificato che era rettangolo - concluse l'allievo mentre le sue occhiaie andavano distendendosi in un sorriso.
- Hai avuto una buona intuizione Eurito. Che potrebbe essere un buon punto di partenza...
- ... per concludere questo giochino da ragazzi - concluse una voce proveniente dall'ingresso dell'aula. I due si voltarono e videro Ippaso sulla soglia che li fissava con un sorriso beffardo. Un lampo di odio viscerale attraversò per un istante lo sguardo di Eratocle.
- Bell'argomento quello delle terne - continuò il metapontino. - Mi ricordo che quando cominciammo a studiarle, tu non afferrasti subito l'argomento. Ad ogni modo credo che sarebbe interessante far conoscere al ragazzo anche gli sviluppi di cui mi sto occupando in questi giorni e che vanno ben oltre le ricerche del maestro.
- Invece io penso che sia meglio non sovraccaricare Eurito con troppi concetti nuovi - rispose aspramente Eratocle.
- Chiediamolo a lui allora. Eurito, ti piacerebbe ascoltare un'interessante sviluppo sull'argomento che stavate trattando? - Il ragazzo guardò Eratocle. Poi arrossì, abbassò gli occhi e annuì lievemente. - Bene - proseguì Ippaso - gl'interessi degli allievi vanno sempre incoraggiati - disse lanciando un'occhiata spocchiosa verso Eratocle. - Il possibile sviluppo è molto semplice da spiegare. Basta combinare l'idea dei bastoncini con quella dei ciottoli. Dovresti costruire più gruppi di dodici bastoncini. I bastoncini di ogni gruppo dovrebbero avere la stessa lunghezza e ogni bastoncino dovrebbe essere costruito in modo da contenere dei ciottoli incastonati a distanze fissate. Disponendo poi tali bastoncini in modo da formare dei cubi di dimensioni diverse potrai trovare i numeri cubici. A quel punto potresti chiederti quali sono le terne di numeri che soddisfano la relazione di Pitagora per i numeri cubici. Cioè quali sono quei numeri a, b e c per cui valga la seguente condizione. - Ippaso afferrò una tavoletta dalle mani dell'allievo e scrisse.
Il numero cubico di a più il numero cubico di b è uguale al numero cubico di c
Eurito rimase a guardare Ippaso con un misto di smarrimento e ammirazione.
- Ma ora devo andare - disse Ippaso. - Vi lascio discutere la mia idea - concluse uscendo dall'aula sotto lo sguardo rabbioso di Eratocle.
La mattina successiva Eratocle arrivò alla scuola con un po' di ritardo. Entrò nell'aula e con una certa delusione la trovò vuota. Dopo qualche istante di attesa decise di concedersi una coppa d'idromele. Mentre stava rientrando in aula con la bevanda sentì dei passi veloci avvicinarsi alle sue spalle. Si voltò e vide Eurito che sopraggiungeva trafelato.
- Scusate maestro - disse il giovane non appena ebbe ripreso fiato. I suoi occhi scuri erano cerchiati da livide occhiaie. - Ho trascorso la notte a cercare il criterio per le terne - continuò passandosi una mano sui capelli crespi più ribelli del solito.
- Spero che un tale sforzo ti abbia almeno condotto alla scoperta del criterio - replicò Eratocle guardandolo severamente dall'alto della sua statura.
- Credo di sì - rispose timidamente il ragazzo.
- Bene. Illustrami quindi il ragionamento che ti ha condotto alla scoperta.
- Provo a riassumerlo - disse Eurito. - Sono partito dalla tavoletta a forma di triangolo rettangolo che abbiamo usato due giorni fa.
il numero quadrato di a sommato al numero quadrato di b darà come risultato il numero quadrato di c.
- Così ho pensato che il criterio cercato dovrebbe essere proprio il teorema di Pitagora - concluse Eurito gettando uno sguardo indagatore al maestro. Eratocle annuì lievemente. - Credo però che per esserne certi dovremmo verificare che sussista anche il viceversa. Cioè se dati tre numeri a, b e c per cui vale la suddetta relazione, allora il triangolo generato dalle asticelle di lunghezza a, b e c è necessariamente rettangolo. - Il maestro annuì con più decisione. - Mi sono quindi messo alla ricerca di altre terne di numeri che soddisfacessero la relazione di Pitagora. La prima cosa che sono riuscito a dedurre, dal fatto che ogni numero della terna 6, 8, 10 è esattamente il doppio del rispettivo numero della terna 3, 4 e 5, è che si può ottenere una quantità illimitata di terne attraverso una semplice moltiplicazione dei tre numeri per un qualsiasi numero. Moltiplicando per 3 otterrei infatti la terna 9, 12 e 15 che soddisfa di nuovo il criterio. Moltiplicando per 4 otterrei 12, 16 e 20 che soddisfa di nuovo il criterio. E così via.
- Sì, questo è vero - confermò Eratocle. - Tuttavia, quella che hai trovato non è una dimostrazione. Hai solo trovato dei casi che confermano la tua ipotesi.
- No, ecco, su questa tavoletta ho anche scritto quella che dovrebbe essere una dimostrazione - rispose l'allievo porgendo la tavoletta al maestro. Eratocle la esaminò per un po' mentre Eurito si passava nervosamente lo stilo da una mano all'altra. - Ottima dimostrazione - sentenziò infine il maestro.
- Ho quindi verificato che 3, 4 e 5 è la terna più piccola tra quelle che soddisfano la relazione di Pitagora - riprese il ragazzo con foga.
- Anche questo è un risultato corretto - approvò Eratocle annuendo. - E vorrei soffermarmi un istante per sottolineare la bellezza dei numeri che caratterizzano questo triangolo. In esso troviamo che il 5, il simbolo del matrimonio, va ad unire il 3, dispari, simbolo del maschile e del limitato, al 4, pari, simbolo del femminile e dell'illimitato. Dimmi Eurito se questo triangolo non è una sintesi dell'armonia che concilia limitato e illimitato. - Il giovane annuì. - Ma vedo che hai anche altre tavolette - riprese il maestro.
- Sì, perché mi sono chiesto se ci fossero anche terne con la stessa proprietà ma che non si ottengono da una moltiplicazione di 3, 4 e 5. Dopo molti tentativi ho trovato 5, 12 e 13; ho costruito il triangolo e ho verificato che era rettangolo - concluse l'allievo mentre le sue occhiaie andavano distendendosi in un sorriso.
- Hai avuto una buona intuizione Eurito. Che potrebbe essere un buon punto di partenza...
- ... per concludere questo giochino da ragazzi - concluse una voce proveniente dall'ingresso dell'aula. I due si voltarono e videro Ippaso sulla soglia che li fissava con un sorriso beffardo. Un lampo di odio viscerale attraversò per un istante lo sguardo di Eratocle.
- Bell'argomento quello delle terne - continuò il metapontino. - Mi ricordo che quando cominciammo a studiarle, tu non afferrasti subito l'argomento. Ad ogni modo credo che sarebbe interessante far conoscere al ragazzo anche gli sviluppi di cui mi sto occupando in questi giorni e che vanno ben oltre le ricerche del maestro.
- Invece io penso che sia meglio non sovraccaricare Eurito con troppi concetti nuovi - rispose aspramente Eratocle.
- Chiediamolo a lui allora. Eurito, ti piacerebbe ascoltare un'interessante sviluppo sull'argomento che stavate trattando? - Il ragazzo guardò Eratocle. Poi arrossì, abbassò gli occhi e annuì lievemente. - Bene - proseguì Ippaso - gl'interessi degli allievi vanno sempre incoraggiati - disse lanciando un'occhiata spocchiosa verso Eratocle. - Il possibile sviluppo è molto semplice da spiegare. Basta combinare l'idea dei bastoncini con quella dei ciottoli. Dovresti costruire più gruppi di dodici bastoncini. I bastoncini di ogni gruppo dovrebbero avere la stessa lunghezza e ogni bastoncino dovrebbe essere costruito in modo da contenere dei ciottoli incastonati a distanze fissate. Disponendo poi tali bastoncini in modo da formare dei cubi di dimensioni diverse potrai trovare i numeri cubici. A quel punto potresti chiederti quali sono le terne di numeri che soddisfano la relazione di Pitagora per i numeri cubici. Cioè quali sono quei numeri a, b e c per cui valga la seguente condizione. - Ippaso afferrò una tavoletta dalle mani dell'allievo e scrisse.
Il numero cubico di a più il numero cubico di b è uguale al numero cubico di c
Eurito rimase a guardare Ippaso con un misto di smarrimento e ammirazione.
- Ma ora devo andare - disse Ippaso. - Vi lascio discutere la mia idea - concluse uscendo dall'aula sotto lo sguardo rabbioso di Eratocle.
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