Dialogo su una bottiglia di Klein

- Fläche! Fläche! Das habe ich tausendmal gesagt! Eine Fläche ist keine Flasche!
- Bè, sicuramente una superficie non è una bottiglia, professor Klein. Ma... una bottiglia ha una superficie. E una superficie... può anche avere la forma di una bottiglia.
- Nein! Nein! Io l'ho chiamata Fläche, superficie. E ora tutti la chiamano Flasche, bottiglia. Warum!? Perché!? Wir müssen wissen! Wir werden wissen!
- Uhm, mi pare di aver già sentito quelle parole... Comunque deve ammettere, professor Klein, che c'è un po' di somiglianza tra "Fläche" e "Flasche". Se avesse usato il latino, come si faceva un centinaio di anni prima della sua pubblicazione, nessuno avrebbe confuso "superficies" con "ampulla".
- Voi Italiener! Sempre a tirare acqua al vostro mulino linguistico!
- Ma se siamo uno dei popoli più anglofili al mondo. Ad ogni modo, veda anche l'aspetto positivo, professor Klein. Senza quel malinteso non ci sarebbero stati tanti bei giochini.
- Che giochini!?

- Bè, ad esempio in California c'è qualcuno che produce delle bottiglie di Klein. Forse senza quell'equivoco tra "bottiglia" e "superficie" a nessuno sarebbe venuta in mente un'idea del genere.
- Ma quelle non sono delle vere superfici mie! Cioè di Klein! Insomma quelle. La mia superficie ha bisogno di quattro dimensioni! E, non avendo un interno e un esterno, non potrebbe contenere liquidi.
- Infatti quelle sono delle immersioni nello spazio tridimensionale. E pensi che quelle bottiglie arrivano dotate di istruzioni in cui è scritto che, siccome la bottiglia ha volume zero, la scatola sarebbe stata superflua, ma che al cliente viene comunque fornita gratuitamente una scatola tridimensionale in cui la bottiglia è stata inserita. Non lo trova divertente?
- Divertente! Sempre a pensare al divertimento voi. Chi vuole che compri una bottiglia difficile da riempire e ancora più difficile da svuotare?!

- Ehm... Io una l'ho comprata.
- Oh Gott!

- E le dirò di più. L'idea è nata chiacchierando con altri matematico-carnascialisti che si erano divertiti a preparare antipasti in stile Möbius. E in quella discussione io ho proposto l'involtino di Klein.
- Die Kleinsche Rouladen! Ach du meine Güte!
- Sì! E Popinga ha proposto l'oliera di Klein, seppur con qualche problemino di fluidodinamica.

E così è nata l'idea del Ristorante Superficiale con ricette euclidee e non, camerieri vestiti da gesuiti, tavoli di Möbius (proposti da Annalisa Santi) e musica di Battiato.
- Wahnsinn!

- Professor Klein, ma non pensa che in questo modo lei e la sua bottiglia... pardon, superficie ne guadagniate in popolarità?

- Me ne infischio io della sua popolarità. Anzi, per non sentire altre corbellerie simili me ne vado!
- Ma Professor Klein... Rimanga... Bè, dato che il professore se n'è andato e che non possiamo completare l'intervista non ci resta che ricordare qualche proprietà della bottiglia del professore... E forse come premessa potremmo cominciare dal Nastro di Möbius. Allora, il cosiddetto nastro di...

- Ma come si permette!? Partire dalla superficie di Möbius per introdurre la mia! Il nastro di Möbius è roba da dilettanti.
- Professor Klein! Ma non era andato via?
- Sì, ma ho sentito quello che diceva e sono tornato indietro! Il nastro di Möbius è una superficie semplicissima. Basta prendere una striscia rettangolare e unire i lati corti dopo una torsione di 180°! Non può usarla per introdurre la mia!
- Però credo che il nastro sia stata la prima superficie tra quelle studiate ad avere una sola faccia e a non avere interno ed esterno. La sfera, il toro, il cilindro hanno tutti due facce non comunicanti e un interno e un esterno. Se una formica cammina su una sfera rimarrà sempre fuori o sempre dentro. Nel nastro di Möbius, invece, la formica, dopo aver percorso un giro, si ritroverà dalla parte opposta. E dopo due giri si ritroverà nel punto iniziale. Questo significa che il nastro è anche una superficie non orientabile.

- E allora? Non succede la stessa cosa pure per la mia superficie? E inoltre la mia superficie ha qualcosa che manca al nastro.
- E cioè?
- La chiusura! Provi a versare dell'olio dentro a una superficie di Möbius e vedrà che succede!
- Beh, sì, ma...
- E vogliamo parlare della costruzione?! Guardi qua sotto...

...non è così banale come quella trovata da Möbius per il suo nastro, no?
- Ammetto che è un po' più complicata, ma ribaltando un po' l'ordine delle sue immagini si potrebbe partire da una sorta di bottiglia bucata sul fondo, estenderne poi il collo, curvarlo su se stesso fino a inserirlo lateralmente all'interno della bottiglia e saldare infine il collo al buco sul fondo.
- E le sembra banale!? In ogni caso quella descritta da lei è solo una riduzione nello spazio tridimensionale. Il vero spazio della mia superficie è quello euclideo quadridimensionale, . Lì non è necessario che il collo perfori la parete della bottiglia.

Lo so che è difficile immaginarlo ma si può usare l'analogia di una lemniscata che, in due dimensioni, deve necessariamente auto-intersecarsi ma una volta proiettata nella terza dimensione l'auto-intersezione può essere eliminata.
Poi, diversamente dalla superficie di Möbius, la mia superficie non ha bordi dove la superficie termina bruscamente. E, diversamente da una sfera, una mosca può andare dall'interno all'esterno senza dover attraversare la superficie. Quindi per la mia superficie non esiste realmente un "dentro" e un "fuori".

- Vero! E se paragoniamo la bottiglia di Klein a una ciambella fritta potremo dire che, dal fatto di avere un'unica faccia si avrà, bisogno del doppio di zucchero rispetto a una ciambella mentre, dal fatto di non avere volume, la ciambella di Klein non avrà impasto all'interno... Visto che non ha neppure un interno...
- Ma che fa!? Stavo appena dicendo che trovo molto fastidiosa la comparazione della mia superficie a una bottiglia e lei adesso me la paragona a una ciambella!?
- Professor Klein, ma mi tolga una curiosità. Da qualche parte ho letto che lei per costruire la sua superficie sia partito dal nastro di Möbius con l'idea di rendere chiusa quella superficie.
- Guardi, queste sue affermazioni insolenti mi hanno proprio stancato. Direi che possiamo proprio chiudere qui l'intervista. E stavolta definitivamente!

Letture consigliate:
Imaging maths - Inside the Klein bottle - da cui ho preso diverse immagini
http://it.wikipedia.org/wiki/Bottiglia_di_Klein