Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 7: la Biblioteca di Alessandria: Archimede

Abbiamo già visto che nel V sec. a.C. il fulcro del sapere matematico era in Calabria, a Crotone: la sede della scuola pitagorica; e che i pitagorici avevano basato il loro modello del cosmo sull'Aritmetica; e che in seguito ad un crollo logico-mistico-filosofico - ma in anche seguito fisico, visto che la scuola venne bruciata - tale modello venne abbandonato e rimpiazzato con il modello di cosmo di Platone, basato sulla geometria.

Per la precisione la scuola venne bruciata nel 450 a.C. e i pitagorici furono costretti a cercare rifugio in altre città come Fleio, Taranto, Siracusa e Locri. Fu così che il sapere matematico si diffuse per tutta l'area ellenica.

Un nuovo polo del sapere matematico si ricostituì però solo circa un secolo e mezzo più tardi, nella città di Alessandro ed in particolare nella Biblioteca di Alessandria. Luogo in cui Euclide consolidò e sviluppò l'idea di Platone rendendola quasi immortale (o almeno ancora viva e vegeta dopo più di duemila anni).

Nella puntata precedente abbiamo anche detto che dopo Euclide altri grandi matematici continuarono a popolare la Biblioteca: i cosiddetti matematici alessandrini.
I matematici (o geometri) alessandrini produssero importanti contributi al sapere matematico. Relativamente ai Fondamenti della Matematica non andarono però molto avanti rispetto all'evoluzione pitagorico-platonica-euclidea. I Fondamenti rimasero più o meno inalterati fino al XVII sec. quando Fermat e Cartesio introdussero la geometria cartesiana (o analitica) tornando un po' all'approccio pitagorico-numerico.... ma questo lo vedremo forse tra diverse puntate.

Tra i vari nomi di spicco che figurano tra i matematici alessandrini vorrei ricordare Archimede, Eratostene, Diofanto e Pappo.

Archimede (287 a.C. – 212 a.C.) era siciliano (a quei tempi meglio noti come greci della Magna Grecia). Oltre a molte altre cose interessanti che produsse e scoprì, egli va sicuramente ricordato perché fu il primo che cercò di calcolare il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio - attualmente noto come Pi greco (π) - in modo un po' più preciso. In precedenza si utilizzavano delle approssimazioni piuttosto grossolane.
Nel breve trattato La misura del cerchio Archimede espone un metodo con il quale si può approssimare arbitrariamente il rapporto tra circonferenza e diametro di un cerchio dato, π per l'appunto.
Il metodo prevedeva l'approssimazione del cerchio, dall'interno e dall'esterno, con poligoni regolari inscritti e circoscritti.
Archimede ottenne le sue stime disegnando tali poligoni sulla sabbia: Parrebbe che arrivò fino a poligoni di 96 lati. In tal modo ottenne un valore compreso tra 223/71 e 22/7.

Fu solo nel 1761, grazie a Johann Heinrich Lambert, che si scoprì che π non può essere scritto come quoziente di due interi e che quindi, così come √2, è un numero irrazionale.

Nel 1882 si andò anche oltre. Allora infatti Ferdinand von Lindemann dimostrò che non solo π è un numero irrazionale, ma che è anche un numero trascendente; è cioè impossibile esprimere π usando un numero finito di interi, di frazioni e di loro radici.
La conseguenza immediata di questa scoperta fu che la quadratura del cerchio, cioè la costruzione, con soli riga e compasso, di un quadrato della stessa area di un dato cerchio, risulta impossibile.

La quadratura del cerchio, assieme al problema della trisezione dell'angolo e a quello della duplicazione del cubo, costituiva uno dei tre problemi classici della geometria greca.

La quadratura del cerchio fu l'ultimo dei tre problemi ad essere risolto; dove per risoluzione si intende appunto la dimostrazione dell'impossibilità della costruzione usando solo riga e compasso.

Nella prossima puntata parleremo degli altri tre matematici alessandrini citati: Eratostene, Diofanto e Pappo.

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Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 6: gli Elementi di Euclide

Dicevamo quindi che la rifondazione della Matematica ad opera di Euclide era basata sulla Geometria, e quindi l'Aritmetica e conseguentemente gli enti numerici erano definiti a partire da essa.

Il libro con cui Euclide rifondò la Matematica, gli Elementi, era un'opera talmente solida (anche se tra la fine del XIX e l'inizio del XX sec. vennero individuate diverse piccole lacune facilmente colmabili) che, caso probabilmente unico, venne utilizzato in Europa come libro di testo scolastico per più di duemila anni, fino al XIX sec.
Pensate che gli Elementi è secondo (di poco) solo alla Bibbia come numero di edizioni. Questo fatto può indurre a pensarlo come una sorta di Bibbia del pensiero razionale accanto a quella della fede che per definizione è irrazionale.

È a partire da Platone, ma ancor di più con Euclide, che comincia a delinearsi quella iniziale dicotomia (che in seguito diventerà tricotomia, quadricotomia, fino all'attuale eptacotomia) della Matematica nei due grossi rami: della Geometria, basata su quello che poi sarà l'apriori kantiano dello Spazio, e dell'Aritmetica, che era basata sull'apriori kantiano del Tempo.

Nella puntata precedente dicevamo che viene da chiedersi come riuscì Euclide, usando questo nuovo approccio, ad aggirare il problema dell'irrazionalità e quindi indefinibilità come rapporto di numeri interi della radice quadrata di 2 (√2)?

In modo abbastanza facile; e cioè, visto che l'interpretazione di Euclide era basata sulla Geometria, il problema della presenza di numeri irrazionali veniva aggirato definendo questi ultimi semplicemente come enti geometrici.
Che cosa sarebbe quindi la radice quadrata di 2 in questa nuova interpretazione? Nient'altro che la diagonale del quadrato di lato 1.

Euclide definì un sistema di poche semplici regole (dette anche assiomi) che non dovevano essere dimostrate (vere a priori) e su di esse costruì il suo sistema geometrico, usato ancora adesso con il nome di Geometria Euclidea.

Inoltre per molti anni, e addirittura anche secondo Kant, la Geometria euclidea venne considerata come l'unico modo possibile per le menti umane di immaginare lo spazio. Nel XIX sec., pochi anni dopo la morte di Kant, si mostrò che non era proprio così. Si potevano infatti concepire delle strutture geometriche coerenti e non euclidee. Rimane comunque vero il fatto che la Geometria euclidea è l'unico modo di poter percepire lo spazio per le menti umane. Ciò implica ovviamente che l'immaginazione è sconfinatamente più potente della percezione. Forse è una delle caratteristiche che ci distingue dagli altri animali?

Dopo Euclide altri grandi matematici continuarono a popolare la Biblioteca alessandrina: i cosiddetti matematici alessandrini; come Archimede, Eratostene, Ipparco, Nicomede, Erone, Menelao, Tolomeo, Diofanto e Pappo.

Di alcuni di questi faremo qualche cenno nelle prossime puntate.

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Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 5: Euclide

Dicevamo quindi che il modello di cosmo di Pitagora, basato sull'aritmetica, fu abbandonato e rimpiazzato con il modello di cosmo di Platone, basato sulla geometria.

Tra i giovani discepoli di Platone ce n'era uno particolarmente promettente che si chiamava Euclide (IV sec. – III sec. a.C.).
Effettivamente l'operato dell'allievo negli anni successivi non dovette sicuramente deludere le aspettative del Maestro.

Dopo aver lasciato la scuola platonica, la fama di Euclide si era infatti già talmente diffusa per il mondo ellenico che Tolomeo I, fondatore della dinastia tolemaica, diadoco di Alessandro Magno e primo re dell'Egitto ellenistico, lo chiamò ad operare nella Biblioteca di Alessandria da lui fondata e nell'annesso Museo.

Il lavoro che Euclide portò a compimento ad Alessandria fu mastodontico. Nei suoi Elementi rifondò tutta la Matematica dei tempi (Aritmetica e Geometria) costruendo un edificio imperituro che sopravvisse inalterato per duemila anni, e che ancora oggi, anche se non è più l'unico edificio geometrico possibile, resiste.
È sopravvissuto addirittura alle molteplici demolizioni dei secoli XIX e XX. Anzi ne uscì addirittura restaurato e rafforzato. Risultò infatti essere completo a differenza dell'Aritmetica.... Ma forse stiamo anticipando troppo. Questa parte forse la discuteremo tra diverse puntate.

Euclide ebbe la fortuna di nascere dopo Aristotele (384 a.C. – 322 a.C.) e poteva quindi partire dal lavoro sulla Logica del suo predecessore.
(L'adagio di Bernardo di Chartres, "siamo dei nani sulle spalle di giganti" ricorre continuamente in tutte le branche del sapere umano, ma soprattutto nella Matematica, soprattutto dopo l'introduzione del metodo logico aristotelico).
Volle quindi costruire il suo edificio usando quello che ancora oggi è il metodo usato per costruire le strutture matematiche: il metodo assiomatico: a partire da pochi assiomi (verità aprioristiche), da una serie di ferree deduzioni logiche verificabili da ogni mente umana razionale e dall'insieme dei risultati precedenti, si costruisce l'edificio.

Il suo edificio era basato sulla Geometria, e quindi l'Aritmetica e conseguentemente gli enti numerici erano definiti a partire da essa.

A questo punto viene da chiedersi: come fece quindi Euclide usando questo nuovo approccio ad aggirare il problema dell'irrazionalità e quindi indefinibilità in termini numerici della radice quadrata di 2 (√2)?
Questo lo vedremo nella prossima puntata.

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Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 4: Platone e le forme geometriche

Visto che ad almeno uno dei miei lettori piace questa serie e che io mi diverto a scriverla, proseguo imperterrito nonostante gli sbadigli della maggioranza; ma non si può accontentare sempre la maggioranza ;-)

Dicevamo quindi che il castello crollò, ma qualcosa, anzi direi moltissimo, rimase.
Si può tranquillamente sostenere che chi utilizzava la matematica in modo utilitaristico non si accorse neppure lontanamente del crollo. Però dal punto di vista teorico/filosofico/mistico l'inghippo provocava un ineludibile cortocircuito: si doveva necessariamente abbandonare almeno il relativo modello di cosmo.
Era inoltre addirittura il motto dei pitagorici a dover essere abbandonato. Nessuno avrebbe più potuto sostenere che Tutto è numero (razionale). Anzi, a voler essere rigorosi il motto sarebbe dovuto cambiare in: Quasi nulla è numero (razionale). Infatti la quantità di numeri irrazionali è innumerabilmente più grande rispetto a quella dei numeri razionali. (Per chi volesse approfondire...)

L'idea di fondo di Pitagora comunque, sfrondata dagli elementi mistici, che si potesse interpretare la natura utilizzando i numeri come strumento, non era del tutto da buttare. Bisognava solo correggere un po' il tiro: o spostarsi verso un'altra branca della Matematica, come si fece poco più di un secolo dopo; oppure estendere il concetto di numero includendo questi oggetti "irrazionali", come si fece più di 1500 anni dopo.

Nel frattempo però non si poteva basare il modello dell'universo su qualcosa che non riusciva a spiegare tutti gli enti esistenti.
Per questo motivo, circa centocinquat'anni dopo Pitagora (Samo 575 a.C. – Metaponto, c. 495 a.C.), Platone (Atene, 427 a.C. – Atene, 347 a.C.) operò in un qualche modo una sostituzione: fece assurgere la Geometria a qualcosa di simile a quello che rappresentavano i Numeri e l'Aritmetica per i pitagorici. In questo modello platonico erano le Forme Geometriche che, sostituendo il ruolo dei numeri, furono assunte come enti reali e prescelte alla spiegazione dei fenomeni dell'Universo.

Così come Pitagora può essere un po' considerato il padre di ciò che oggi viene chiamato Teoria dei Numeri, Platone può essere un po' considerato il padre della Geometria.

Ciò che rende la Geometria di Platone diversa da quella dei suoi predecessori è un fatto simile quello che rendeva l'Aritmetica di Pitagora diversa da quella dei suoi predecessori: Platone fu tra i primi a speculare sulla natura delle entità geometriche.
Acutissima fu l'osservazione (oggi a posteriori potrebbe risultare ovvia) che le forme geometriche, oggetto dei nostri studi e dei nostri teoremi, in natura semplicemente non esistono.
Un cerchio o un quadrato perfetto, che pur ogni individuo conosce calcolandone area e perimetro, sono assenti dalla nostra realtà fisica.
Nella realtà esistono solo delle approssimazioni delle suddette forme teoriche. L'intelletto vedrebbe quindi, al di là della realtà sensibile, un'idea di cerchio, quadrato e altre forme geometriche.

Nel modello cosmico di Pitagora i cinque solidi platonici (gli unici solidi regolari esistenti) da lui stesso scoperti occupavano un ruolo fondante.
In particolare Pitagora in una sorta di prototavola di Mendeleev associò ad ognuno di essi un elemento:

al tetraedro il fuoco,

al cubo la terra,

all'ottaedro l'aria,

all'icosaedro l'acqua,

mentre ritenne che il dodecaedro fosse la forma dell'universo.

I solidi platonici furono poi studiati con maggiore razionalità da Euclide e da altri geometri greco-alessandrini che saranno uno dei soggeti della prossima puntata....

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Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 3: il grande contributo dei pitagorici

Dicevamo quindi, come ne uscì la Matematca da questa scoperta che a partire dai numeri si può definire qualcosa di non classificabile come numero secondo la definizione esistente allora?

Semplice! Trovando una definizione che potesse includere il nuovo ente tra i numeri. A questo passo però (almeno da un punto di vista formale perché informalmente lo si cominciò a fare molto prima) si arrivò solo più di 1500 anni dopo con Dedekind (forse lo vedremo tra qualche puntata...).

Tornando invece ai tempi della scuola calabrese (la sede era a Crotone) dei pitagorici e alla storia del delatore, secondo alcuni questi sarebbe stato Ippaso di Metaponto; a cui sarebbe anche attribuita la scoperta stessa dell'irrazionale;


e che una dubbia leggenda vuole addirittura condannato a morte per cotanta disvelazione e diffusione.

Ma non è finita qui!
Non solo il diabulus in matematica si celava dietro il teorema del Maestro, ma addirittura la bestia fu scoperta albergare anche anche alll'interno del simbolo dei pitagorici: il pentagramma pitagorico. Dove nuovamente il mostro dimorava nel rapporto tra diagonale e lato del pentagono descritto. Una vera iattura!

(Stavolta il rapporto coincide con l'interessantissima Sezione aurea, che si trova celata nei posti più impensati: dalla Pittura all'Architettura, fino alla Musica e alla Letteratura.)
Nonostante le inattese scoperte, anzi forse in parte proprio grazie ad esse, il contributo dei pitagorici al sapere umano e alla scienza è enorme. Furono i primi ad accorgersi che alcune leggi della natura erano governate da regole esprimibili matematicamente con dei numeri.
Ora è un fatto ovvio, ma la sorpresa dovette essere molto grande per i primi uomini che si accorsero dell'inattesa coincidenza; ed è anche comprensibile che tale scoperta li potesse condurre a dedurne un'interpretazione che dava un valore mistico ai numeri.
In particolare si racconta che tale scoperta avvenne investigando le leggi che regolavano l'emissione di suoni da parte di corde o corpi posti in vibrazione.

Quindi nei pitagorici si possono in qualche modo scorgere i progenitori sia della Matematica che della Fisica.

Il contributo più importante alla Matematica da parte dei pitagorici non è comunque né il famoso teorema (che pare fosse già noto ed utilizzato da Cinesi, Babilonesi ed Egizi qualche millennio prima) e né la scoperta dell'irrazionalità di √2.

Il contributo più importante alla Matematica da parte dei pitagorici è stato il fatto che essi non si accontentarono di utilizzare o enunciare i suddetti risultati, come era stato fatto fino ad allora, ma vollero invece "dimostrarli". Introdussero quindi per la prima volta il concetto di dimostrazione matematica; e cioè una sequenza di passaggi logici, a partire da pochi fatti noti, che portino ad una conclusione che valga in generale.
In particolare poi nel caso dell'irrazionalità di √2 introdussero la dimostrazione per assurdo, usata moltissimo nei secoli e millenni a venire fino a tutt'oggi.

Nella prossima puntata parleremo di Platone e le forme geometriche.

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Un avvincente percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 2: il crollo del castello pitagorico

Che tipo di problemi creò quindi la scoperta che la diagonale del quadrato non può essere misurata in termini di lato del quadrato?

Nella puntata precedente, Crazy time faceva riferimento al teorema di Pitagora rinominandolo "il mistero di Pitagora".
Effettivamente, nella ridefinizione di Crazy time c'è del vero. Per ironia della sorte infatti i pitagorici trovarono la loro bestia nera celata proprio nel famoso teorema del Maestro.
Dovettero essere infatti molto sorpresi dal fatto che un caso particolare del teorema conduceva proprio alla grandezza incommensurabile che faceva crollare la loro mistica/teoria secondo la quale tutto è numero (razionale) e tutto è quindi misurabile attraverso il numero.

Il caso particolare più semplice del teorema (ce ne sono un'infinità) che porta alla grandezza incommensurabile è il seguente.
Se consideriamo il triangolo rettangolo di cateto 1 e chiamiamo x la lunghezza incognita dell'ipotenusa, la nota filastrocca del teorema ci dice che l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è pari alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.
Quindi nel nostro caso 1² + 1² = x².

Da cui, sommando 1² + 1² = 2 = x².

Estraendo quindi la radice da ambo le parti:

√2 = x

La lunghezza dell'ipotenusa (che coincide poi con la diagonale del quadrato di lato 1) coincide quindi con il diabulus in matematica, con la bestia nera incommensurabile.

(La scoperta si può anche esprimere in termini un po' più matematici dicendo che √2 non si può esprimere come un rapporto di numeri interi; o ancora che √2 non è un numero razionale. Per chi fosse interessato ad una semplice dimostrazione dell'irrazionalità di √2 la può trovare qui.)

La scoperta creò sicuramente scandalo all'interno della setta. Faceva crollare tutta il loro modello del cosmo. Non avrebbero più potuto asserire la loro teoria/filosofia/religione che sosteneva che il mondo è completamente misurabile e rappresentabile attraverso i numeri e neppure quindi che attraverso la scoperta delle proprietà dei numeri si potessero specularmente scoprire i misteri dell'Universo. All'interno della scuola si decise quindi di mantenere segreta la scoperta.
Purtroppo pare che un delatore (onore al merito) divulgò la dimostrazione e il castello crollò.

È il prezzo che si paga a fondare una mistica su qualcosa di razionale.

Quindi il modello pitagorico crollava, in quanto parve che nell'universo si potevano trovare grandezze non esprimibili attraverso numeri.

Come ne uscì invece la Matematica da questa scoperta che a partire dai numeri si può definire qualcosa di non classificabile come numero secondo la definizione esistente allora?
Lo vedremo nella prossima puntata....

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Un avvincente percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 1: I pitagorici

Dopo aver riascoltato quest'interessantissima trasmissione radiofonica di Piergiorgio Odifreddi ho pensato di ripercorrere e approfondire (per quanto possa consentirlo un blogghetto) l'avvincente percorso storico tra Numeri e Geometria che parte da Pitagora per arrivare alla fine del XX secolo.

Per molto tempo l'uomo usò il concetto di numero, le strutture geometriche e le verità (teoremi) relative ad essi in modo piuttosto automatico, utilitaristico e inconsapevole: i numeri erano molto utili; nella vita quotidiana, ma soprattutto nei commerci e in molte delle sette arti.
Quando si svilupparono civiltà più ricche e potenti che potevano permettersi di mantenere dei pensatori, si cominciò a riflettere sulla natura delle suddette entità numeriche e geometriche e soprattutto sulle verità (teoremi) relative ad esse.

Tra i primi (520 a.C circa) a sviluppare questo tipo di pensiero ci furono Pitagora e i pitagorici (una sorta di setta mistico/scientifica).
Il motto dei pitagorici era: Tutto è Numero. Dove per Numero i pitagorici intendono numero intero; e cioè l'insieme dei numeri {1,2,3,4,ecc.} che in matematica moderna viene anche denominato insieme dei numeri naturali e rappresentato con
Inoltre i pitagorici conferivano al numero un significato mistico, che andava oltre quello astratto/calcolistico. Per i pitagorici il numero era anche qualcosa di reale di concreto.
In più, secondo la scuola, il mondo era costituito da Numeri e rapporti tra di essi; e cioè dall'insieme dei numeri {1,1/2,1/3,1/4,..., 2,2/3,2/5...3,3/2,3/4,ecc.} che in matematica moderna viene anche denominato insieme dei numeri razionali (da ratio, rapporto) e rappresentato con
Dunque il mondo sarebbe stato completamente misurabile (nei suoi vari fenomeni, in biologia, in astronomia, in musica, in fisica), e la comprensione dei numeri avrebbe consentito la comprensione dell'esistenza stessa. La "misurabilità" del mondo avrebbe quindi conferito alla realtà della natura ordine e armonia.

Finché un giorno qualcuno della scuola non si accorse che la diagonale del quadrato non può essere misurata in termini di lato del quadrato. Cioè se assumiamo il lato come nostra unità di misura non riusciremo mai ad esprimere un rapporto di numeri interi che possa rappresentare la lunghezza della diagonale.

Questa scoperta creò dei problemi. Di che tipo? Lo vedremo nella prossima puntata....

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