mercoledì, febbraio 11, 2009

Un avvincente percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 2: il crollo del castello pitagorico

Che tipo di problemi creò quindi la scoperta che la diagonale del quadrato non può essere misurata in termini di lato del quadrato?

Nella puntata precedente, Crazy time faceva riferimento al teorema di Pitagora rinominandolo "il mistero di Pitagora".
Effettivamente, nella ridefinizione di Crazy time c'è del vero. Per ironia della sorte infatti i pitagorici trovarono la loro bestia nera celata proprio nel famoso teorema del Maestro.
Dovettero essere infatti molto sorpresi dal fatto che un caso particolare del teorema conduceva proprio alla grandezza incommensurabile che faceva crollare la loro mistica/teoria secondo la quale tutto è numero (razionale) e tutto è quindi misurabile attraverso il numero.

Il caso particolare più semplice del teorema (ce ne sono un'infinità) che porta alla grandezza incommensurabile è il seguente.
Se consideriamo il triangolo rettangolo di cateto 1 e chiamiamo x la lunghezza incognita dell'ipotenusa, la nota filastrocca del teorema ci dice che l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è pari alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.
Quindi nel nostro caso 1² + 1² = x².

Da cui, sommando 1² + 1² = 2 = x².

Estraendo quindi la radice da ambo le parti:

2 = x

La lunghezza dell'ipotenusa (che coincide poi con la diagonale del quadrato di lato 1) coincide quindi con il diabulus in matematica, con la bestia nera incommensurabile.

(La scoperta si può anche esprimere in termini un po' più matematici dicendo che 2 non si può esprimere come un rapporto di numeri interi; o ancora che 2 non è un numero razionale. Per chi fosse interessato ad una semplice dimostrazione dell'irrazionalità di 2 la può trovare qui.)

La scoperta creò sicuramente scandalo all'interno della setta. Faceva crollare tutta il loro modello del cosmo. Non avrebbero più potuto asserire la loro teoria/filosofia/religione che sosteneva che il mondo è completamente misurabile e rappresentabile attraverso i numeri e neppure quindi che attraverso la scoperta delle proprietà dei numeri si potessero specularmente scoprire i misteri dell'Universo. All'interno della scuola si decise quindi di mantenere segreta la scoperta.
Purtroppo pare che un delatore (onore al merito) divulgò la dimostrazione e il castello crollò.

È il prezzo che si paga a fondare una mistica su qualcosa di razionale.

Quindi il modello pitagorico crollava, in quanto parve che nell'universo si potevano trovare grandezze non esprimibili attraverso numeri.

Come ne uscì invece la Matematica da questa scoperta che a partire dai numeri si può definire qualcosa di non classificabile come numero secondo la definizione esistente allora?
Lo vedremo nella prossima puntata....


Indice della serie

10 commenti:

Sebastiano ha detto...

attendo con ansia la prossima puntata!

Arimortis ha detto...

I numeri sono irrazionali perché vengono espressi attraverso convenzioni escogitate da menti irrazionali. L'osservatore é sempre parte dell'esperimento che conduce.

dioniso ha detto...

Ciao Sebastiano!
Preas in giro ? :-)

Arimortis,
potrebbe essere un'interpretazione...
Però in questo contesto "irrazionale" non avrebbe esattamente il significato che gli attribuiamo noi oggi e cioè "al di fuori della ragione".

Avrebbe di più il significato che aveva in origine: "non esprimibile come ratio (cioè rapporto)"

Ma la tua interpretazione è sicuramente più affascinante. :-)

Eva kant ha detto...

ho visto che stai leggendo le memorie di barry lindon. com'è?

dioniso ha detto...

Ciao Eva Kant!

Pensavo che commentassi la matematica, e invece.... :-)
In realtà più che una lettura è un ascolto: Ad alta voce.
Per ora ho ascoltato poche puntate. Mi ero fatta l'impressione che la struttura epica del libro lo rendesse adatto ad un ascolto. Infatti è così.
Ho sperimentato che non tutti i libri sono adatti all'ascolto. Soprattutto quando lo si intraprende mentre si è impegnati nella faccende domestiche, come faccio io....

Saluti

Eva kant ha detto...

sulla matematica non commento....
non riesco proprio a entrarci

Crazy time ha detto...

forse alla fine ce la faro' e il teorema diventera' meno mistero. lo spero tanto.
per ora mi aggrappo alle parole che mi hanno sempre accolta con piu' calore.


:)

dioniso ha detto...

Ciao Crazy time!

Ma infatti proprio per questo in questa serie cerco di scrivere pochissime formule e tante, spero non troppo noiose, parole.

Saluti

Sebastiano ha detto...

Ciao Dioniso! Nessuna presa in giro, mi interessa davvero! E mi piace come spieghi queste cose! Quindi, per favore, continua a raccontare!!

dioniso ha detto...

Che bello!! Almeno un lettore che non si annoia!! :-))

Grazie Sebastiano!!