- Oggi me lo dirai che cosa sono gli spettri artificiali? Oppure t'inventerai un'altra scusa come la volta scorsa?
- No, oggi te lo dirò. Allora, la prima idea in proposito venne ad un certo John R. Pierce nel 1966. Egli si chiese: se la consonanza tra due suoni dipende dalla coincidenza di una parte dei loro armonici, che cosa succederebbe se costruissi artificialmente dei suoni i cui armonici non siano multipli interi della fondamentale? Potrei riuscire a far percepire come consonanti anche due suoni il cui rapporto tra le frequenze non è espresso da numeri piccoli?
- Ah! Quindi è questo il famigerato spettro artificiale! Una serie di armonici costruita ad arte che non coincide con quella naturale. Allora il trucco sarebbe quello di spostare artificialmente gli armonici dei due suoni in modo tale da farli coincidere?
- Precisamente!
- Ma che significa che gli armonici non sono multipli interi della fondamentale?
- Vedi quel sintetizzatore? Con esso ho costruito un La modificato, la cui fondamentale è di 225 Hz invece dei 220 Hz dello standard, ma i cui armonici non sono multipli interi della fondamentale.
- E cioè?
- Cioè, invece di aggiungere ogni volta 225, ho aggiunto ogni volta 225x(43/45), che poi sarebbe 215, ottenendo così questo nuovo spettro
225 Hz, 440 Hz, 655 Hz, 870 Hz, 1085 Hz, 1300 Hz, 1515 Hz, 1730 Hz...
- Ho capito. Hai contratto lo spettro! Si vede subito se confronto i numeri con quelli degli appunti che ho preso la volta scorsa:
225 Hz, 450 Hz, 675 Hz, 900 Hz, 1125 Hz, 1350 Hz.
- Proprio così! E posso compiere un'azione analoga sul La 440 sommando ogni volta 440x(43/44) invece di 440 in modo da ottenere 440 Hz, 870 Hz, 1300 Hz, 1730 Hz...
- Ah! Così coincidono con gli armonici del La 225 modificato!!
- Ebbene sì! Ora andiamo a suonare questi due La modificati al sintetizzatore.
Leeeeeeee
Laaaaaaa
- Allora?!
- Be', suona un po' strano ma non è fastidioso. Non lo definirei dissonante. Solo che ....
- Che cosa?
- Be', non penso che a Pitagora sarebbe piaciuto molto vedere dei rapporti di 43/45 e 43/44.
- Penso proprio di no. Sicuramente avrebbe preferito l'1+1=2 all'1+43/45 =88/45. Ma la cosa pare comunque funzionare... Anche se non così bene come nel caso dei rapporti pitagorici... E poi in realtà in questo caso si tratta solo di un esperimento. C'è invece un aspetto fondamentale della moderna intonazione che avrebbe fatto proprio infuriare Pitagora.
- E cioè?
- Be', la scala che tutti gli strumenti ad intonazione fissa come il pianoforte usano da qualche secolo si chiama scala temperata.
- Scala temperata? Mi sembra di averne sentito parlare. Ha a che fare con Il clavicembalo ben temperato?
- Direi proprio di sì. Secondo alcuni quel pezzo fu scritto da Bach proprio per mostrare che era possibile usare la scala temperata per suonare in tutte le tonalità; visto che costruire e suonare strumenti a tastiera con intonazione Pitagorica risultava troppo complicato. Guarda questa foto dell'armonium di Colin Brown!
- Be' effettivamente....
Si decise così di adottare il compromesso delle scale temperate. E in particolare negli ultimi due secoli il temperamento equabile è andato affermandosi sempre di più tra i vari tipi di temperamento. Nel temperamento equabile l'ottava è suddivisa in dodici parti uguali. E per passare dalla frequenza di un suono a quella del suono immediatamente successivo si moltiplica per la radice dodicesima di 2.
- Per la radice dodicesima di 2!!?? Per un numero irrazionale!!??
- Sì, è proprio per questo che le ossa di Pitagora si staranno ancora rigirando nella tomba.
- Sono sconvolta.
- Ma non è finita qui. Sugli spettri artificiali sono stati effettuati molti altri esperimenti. E uno dei più interessanti è proprio quello in cui la scala temperata viene espansa insieme agli armonici di ogni singolo suono della scala.
- E cioè?
- Cioè, invece della radice dodicesima di 2 si usa la radice dodicesima di 2,1 (cioè di 21/10).
- Oh, mio dio! Sempre più complicato!
- Mah, solo un pochino. Comunque, dopo questa sostituzione si prova ad eseguire un corale di Bach a quattro voci in quattro versioni diverse.
- Non hai che da ascoltarle! Su questa pagina troverai l'esecuzione del corale di Bach eseguita nelle suddette quattro versioni nell'ordine 1, 4, 2 e 3.
....
- Eh sì, mi pare proprio che la quarta sia consonante... Anche se suona un po' strana.
- Sì, è chiaro. L'orecchio percepisce lo stiramento. Ma il fatto sorprendente è che non appaia dissonante nonostante gli strani rapporti tra le frequenze.
- Però la seconda e la terza sono veramente terribili. Non so dire quale sia più dissonante. Forse la terza.
- Be', sì, c'è un limite a tutto. Il pitagorismo alla fine un suo senso ce l'ha. Anche se non è esattamente quello che immaginavano i pitagorici. Ad ogni modo, se vuoi saperne di più ti consiglio la lettura del capitolo 4.6 del libro Music: a Mathematical Offering.
- No, oggi te lo dirò. Allora, la prima idea in proposito venne ad un certo John R. Pierce nel 1966. Egli si chiese: se la consonanza tra due suoni dipende dalla coincidenza di una parte dei loro armonici, che cosa succederebbe se costruissi artificialmente dei suoni i cui armonici non siano multipli interi della fondamentale? Potrei riuscire a far percepire come consonanti anche due suoni il cui rapporto tra le frequenze non è espresso da numeri piccoli?
- Ah! Quindi è questo il famigerato spettro artificiale! Una serie di armonici costruita ad arte che non coincide con quella naturale. Allora il trucco sarebbe quello di spostare artificialmente gli armonici dei due suoni in modo tale da farli coincidere?
- Precisamente!
- Ma che significa che gli armonici non sono multipli interi della fondamentale?
- E cioè?
- Cioè, invece di aggiungere ogni volta 225, ho aggiunto ogni volta 225x(43/45), che poi sarebbe 215, ottenendo così questo nuovo spettro
225 Hz, 440 Hz, 655 Hz, 870 Hz, 1085 Hz, 1300 Hz, 1515 Hz, 1730 Hz...
- Ho capito. Hai contratto lo spettro! Si vede subito se confronto i numeri con quelli degli appunti che ho preso la volta scorsa:
225 Hz, 450 Hz, 675 Hz, 900 Hz, 1125 Hz, 1350 Hz.
- Proprio così! E posso compiere un'azione analoga sul La 440 sommando ogni volta 440x(43/44) invece di 440 in modo da ottenere 440 Hz, 870 Hz, 1300 Hz, 1730 Hz...
- Ah! Così coincidono con gli armonici del La 225 modificato!!
- Ebbene sì! Ora andiamo a suonare questi due La modificati al sintetizzatore.
Leeeeeeee
Laaaaaaa
- Allora?!
- Be', suona un po' strano ma non è fastidioso. Non lo definirei dissonante. Solo che ....
- Che cosa?
- Be', non penso che a Pitagora sarebbe piaciuto molto vedere dei rapporti di 43/45 e 43/44.
- Penso proprio di no. Sicuramente avrebbe preferito l'1+1=2 all'1+43/45 =88/45. Ma la cosa pare comunque funzionare... Anche se non così bene come nel caso dei rapporti pitagorici... E poi in realtà in questo caso si tratta solo di un esperimento. C'è invece un aspetto fondamentale della moderna intonazione che avrebbe fatto proprio infuriare Pitagora.
- E cioè?
- Be', la scala che tutti gli strumenti ad intonazione fissa come il pianoforte usano da qualche secolo si chiama scala temperata.
- Scala temperata? Mi sembra di averne sentito parlare. Ha a che fare con Il clavicembalo ben temperato?
- Be' effettivamente....
Si decise così di adottare il compromesso delle scale temperate. E in particolare negli ultimi due secoli il temperamento equabile è andato affermandosi sempre di più tra i vari tipi di temperamento. Nel temperamento equabile l'ottava è suddivisa in dodici parti uguali. E per passare dalla frequenza di un suono a quella del suono immediatamente successivo si moltiplica per la radice dodicesima di 2.
- Per la radice dodicesima di 2!!?? Per un numero irrazionale!!??- Sì, è proprio per questo che le ossa di Pitagora si staranno ancora rigirando nella tomba.
- Ma non è finita qui. Sugli spettri artificiali sono stati effettuati molti altri esperimenti. E uno dei più interessanti è proprio quello in cui la scala temperata viene espansa insieme agli armonici di ogni singolo suono della scala.
- E cioè?
- Cioè, invece della radice dodicesima di 2 si usa la radice dodicesima di 2,1 (cioè di 21/10).
- Oh, mio dio! Sempre più complicato!
- Mah, solo un pochino. Comunque, dopo questa sostituzione si prova ad eseguire un corale di Bach a quattro voci in quattro versioni diverse.
- Nel modo classico. Cioè, con la scala temperata tradizionale dove gli armonici di ogni suono sono quelli naturali.
- Con la scala temperata tradizionale ma con gli armonici espansi in modo tale che il secondo armonico è 2,1 volte la frequenza della fondamentale, il quarto è 4,41 volte e così via.
- Con la scala espansa attraverso la radice dodicesima di 2,1 ma con gli armonici naturali.
- Con l'espansione di entrambi: scala e armonici.
- Non hai che da ascoltarle! Su questa pagina troverai l'esecuzione del corale di Bach eseguita nelle suddette quattro versioni nell'ordine 1, 4, 2 e 3.
....
- Eh sì, mi pare proprio che la quarta sia consonante... Anche se suona un po' strana.
- Sì, è chiaro. L'orecchio percepisce lo stiramento. Ma il fatto sorprendente è che non appaia dissonante nonostante gli strani rapporti tra le frequenze.
- Però la seconda e la terza sono veramente terribili. Non so dire quale sia più dissonante. Forse la terza.
- Be', sì, c'è un limite a tutto. Il pitagorismo alla fine un suo senso ce l'ha. Anche se non è esattamente quello che immaginavano i pitagorici. Ad ogni modo, se vuoi saperne di più ti consiglio la lettura del capitolo 4.6 del libro Music: a Mathematical Offering.
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