Verso la matematica moderna: Viète, Magini, Clavius e l'introduzione di nuovi simboli e concetti - Numeri e Geometria attraverso la storia

Nella puntata precedente abbiamo detto che dopo la morte di Maurolico (1575) la geometria non conobbe grossi sviluppi per più di 50 anni e, fino all'arrivo di Cartesio, la matematica si sviluppò in altre aree.

Nell'ultimo quarto del XVI sec. l'Europa occidentale aveva recuperato la maggior parte delle opere matematiche dell'antichità che ci sono pervenute¹; l'algebra degli arabi era stata assimilata e sviluppata sia attraverso la soluzione generale delle equazioni di terzo grado sia attraverso un impiego parziale del simbolismo (1, 2); e la trigonometria era diventata una disciplina autonoma. Boyer¹ afferma che nel periodo tra la fine del '500 e gli inizi del '600 la matematica aveva quasi raggiunto quel livello di maturità che poteva consentire rapidi progressi ma fu necessario un periodo di transizione e, questo passaggio dal Rinascimento al mondo moderno, si realizzò anche attraverso una serie di figure intermedie.

Tuttavia, la figura centrale di questa fase fu il matematico francese François Viète (1540 – 1603), noto anche con il nome latinizzato di Franciscus Vieta. Nato in una famiglia di giuristi, Viète studiò diritto ed esercitò l'avvocatura. A 24 anni diventò precettore di Catherine de Parthenay, a 31 avvocato al parlamento di Parigi e a 33 consigliere al parlamento della Bretagna. Nel 1576 entrò a far parte del servizio del Re: dapprima di Enrico III e poi, nel 1594, di Enrico IV. E sotto quest'ultimo venne incaricato di decifrare i messaggi che gli spagnoli avevano cifrato con una chiave di oltre 500 caratteri. Attività nella quale Viète dimostrò una tale abilità che gli spagnoli lo accusarono di essere in combutta col diavolo.
Nonostante il tempo limitato che poteva dedicare alla matematica a causa dei suoi impegni politici Viète riuscì ad apportare notevoli contributi all'aritmetica, all'algebra, alla trigonometria e alla geometria. Probabilmente la maggior parte di questi vennero prodotti tra il 1564 e il 1568, quando Viète non aveva ancora impegni politici, e tra il 1584 e il 1589, quando Viète venne allontanato dal potere in quanto ugonotto. (Nel 1594 si convertì al cattolicesimo per poter prestare di nuovo servizio per il Re).
Del primo di questi due periodi è l'Harmonicon Coeleste, un testo in cinque libri mai pubblicato ma ancora disponibile come manoscritto (una copia autografa è nella Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze, e un'altra copia di G. Borelli è nella Biblioteca Nazionale Centrale Vittorio Emanuele II di Roma). Nell'Harmonicon Coeleste Viète presentò la sua visione tolemaica del cosmo in quanto egli credeva che l'ipotesi di Copernico non fosse geometricamente valida. Essendo un trattato di astronomia, l'Harmonicon contiene ovviamente anche molta trigonometria.
Nel 1571 Viète pubblicò un'opera di trigonometria, Canon mathematicus, nella quale presentò varie formule sulle funzioni seno e coseno. Questo lavoro costituisce il primo passo avanti della trigonometria dopo i risultati di Copernico e Rheticus. Il Canon, inoltre, fornì un impulso verso l'uso di frazioni decimali in luogo di quelle sessagesimali.

L'uso della virgola decimale vera e propria si attribuisce invece solitamente o a Giovanni Antonio Magini (1555-1617), un astronomo amico di Keplero e concorrente di Galileo alla cattedra di matematica a Bologna, nel suo De planis triangulis; oppure a Christophorus Clavius, meglio noto in Italia come Cristoforo Clavio (1538 – 1612), un gesuita, matematico e astronomo tedesco, anch'esso amico di Keplero e noto soprattutto per il suo contributo alla definizione del calendario gregoriano, in una tavola di seni del 1593. Tuttavia la virgola entrò davvero nell'uso comune soltanto venti anni più tardi grazie sopratutto a Nepero. Ma di questo ci occuperemo in seguito.
Tornando invece a Viète, si può dire che fu l'algebra il campo nel quale egli fornì i contributi più importanti imprimendo a questa disciplina un forte impulso verso l'approccio moderno. Quello che vede l'algebra come una forma di ragionamento astratto e non, com'era accaduto per il periodo arabo fino all'inizio dell'età moderna, come un insieme di artifici per risolvere problemi. Prima di Viète, l'obiettivo principale di questa disciplina era rimasto la ricerca del valore dell'incognita, a quei tempi denominata "la cosa", in un'equazione con coefficienti numerici specifici senza avere alcuno schema generale per rappresentare un'intera classe di equazioni, come, ad esempio, quello attualmente in uso (ax² + bx + c = 0) per rappresentare una qualsiasi equazione di secondo grado. Nella geometria, invece, per mezzo di una figura e di tre lettere si potevano rappresentare tutti i triangoli. Fu qui che Viète introdusse un principio convenzionale tanto semplice quanto rivoluzionario. Usò una vocale per rappresentare l'incognita e una consonante per rappresentare un numero noto introducendo così per la prima volta nell'algebra una netta distinzione tra il concetto di parametro e quello di incognita. A questo punto, usando tutte le notazioni simboliche allora esistenti, sarebbe stato possibile scrivere tutte le equazioni di secondo grado con l'unica formula BA² + CA + D = 0. Ma né Viète né tanto meno altri matematici del tempo ebbero l'intuizione, o forse la possibilità, di elaborare una tale sintesi. L'algebra di allora rimaneva fondamentalmente un'algebra sincopata; infatti, sebbene Viète adottasse i simboli tedeschi per l'addizione e la sottrazione e usasse simboli diversi per parametri e incognite, per il resto usava ancora espressioni verbali e abbreviazioni.
Con Viète si osserva anche una chiara tendenza verso la correlazione tra la nuova algebra e la vecchia geometria di Apollonio. Il matematico francese arrivò a un passo dalla geometria analitica e, se non avesse evitato lo studio geometrico delle equazioni indeterminate, avrebbe potuto scoprire questa disciplina qualche decennio prima di Cartesio.
Anche la sua trigonometria, così come la sua algebra, fu caratterizzata da una accentuata possibilità di generalizzazione e ampiezza di vedute. Così, oltre a essere considerato il fondatore dell'algebra letterale, Viète potrebbe anche essere considerato il padre di quel metodo analitico generalizzato di trattare la trigonometria che a volte viene chiamato goniometria.

Ma oltre a Viète, in quel periodo, molti altri matematici si interessarono alla trigonometria e produssero manuali e compendi. Il termine stesso "trigonometria" fu coniato in quel periodo da Bartholomaeus Pitiscus  (Grünberg, 1561 – Heidelberg, 1613),che lo usò come titolo di un manuale pubblicato nel 1595.

Anche l'invenzione dei logaritmi avvenne in quegli anni, ma di questo parleremo nella prossima puntata che sarà su Nepero, Harriot, Oughtred e Recorde e l'introduzione di altri nuovi simboli.

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¹ Carl B. Boyer: Storia della matematica, Oscar Saggi Mondadori

Il rinascimento: Pacioli, i matematici tedeschi, gli irrazionali e le nuove notazioni (+, -, √, x0 = 1) - Numeri e Geometria attraverso la storia - Parte 22

Nella puntata precedente ho parlato della fine del medioevo e dell'inizio del rinascimento introducendo figure importanti come il cardinale Bessarione e il Regiomontano. Tra le opere del Regiomontano ho parlato del De Triangulis Omnimodus (completata nel 1464 ma stampata nel 1533) che segnò la rinascita della trigonometria e fece assurgere l'Europa occidentale ad una posizione di preminenza in questo campo.

Tuttavia non è lo sviluppo della trigonometria a caratterizzare principalmente la matematica rinascimentale. Il titolo di regina della matematica del tempo spetta sicuramente all'algebra. Questo aspetto diversifica leggermente lo sviluppo rinascimentale della matematica rispetto a quello delle altre scienze ed arti di quel periodo. Se infatti a stimolare il movimento rinascimentale fu per buona parte la riscoperta di opere del mondo greco antico, nel caso specifico della matematica questa riscoperta giocò sì un ruolo importante, ma un ruolo altrettanto importante fu assunto dalla continuazione e dallo sviluppo della tradizione medievale. Tale differenza traspare proprio attraverso il suddetto ruolo dell'algebra. Questa disciplina fu infatti sviluppata soprattutto nel medioevo: prima tra gli arabi e poi tra i cristiani. Lo stesso Regiomontano, ridimensionando l'apoteosi dell'ellenismo, diffusa dagli umanisti del tempo, riconosceva l'importanza dell'algebra medievale araba e latina. 

L'opera più famosa per l'algebra di quel periodo venne pubblicata dal frate Luca Pacioli  (1445, Borgo San Sepolcro – 1514) con il titolo di Summa de arithmetica, geometria, proportioni e proportionalità, scritta in volgare e pubblicata a Venezia nel 1494. La Summa di Luca Pacioli, pur essendo l'opera più influente per l'algebra del tempo, non è in realtà nulla di più di una sintesi di alcune precedenti opere inedite dell'autore di carattere fondamentalmente compilativo. Non fu quindi tanto l'originalità a rendere celebre la Summa quanto piuttosto la sua diffusione ed il suo carattere sinottico. L'opera non si limita in realtà alla sola algebra, ma è una raccolta delle conoscenze dell'epoca relative a quattro campi diversi della matematica: algebra, aritmetica, geometria e metodi aritmetici usati nel commercio. Potrebbe apparire un po' inconsueto che quest'ultimo campo della matematica venga affiancato agli altri tre. Bisogna tuttavia considerare che Luca Pacioli insegnò la matematica presso alcune famiglie di ricchi mercanti veneziani.
La sezione geometrica della Summa è piuttosto elementare mentre quella aritmetica espone principalmente tecniche per il calcolo di moltiplicazioni e radici quadrate. La più corposa parte algebrica riporta i procedimenti per la risoluzione delle equazioni di primo e secondo grado - per quanto riguarda le equazioni di terzo grado Pacioli, così come Omar Khayyám, pensava che non fosse possibile risolverle con metodi algebrici. In questa sezione l'autore fa ampio uso di forme abbreviate tipiche dell'algebra sincopata. La quarta ed ultima parte include informazioni relative alla registrazione a partita doppia e alle monete e misure dei diversi regni, ducati e stati italiani. Questa quarta sezione conobbe un grande successo ed è grazie ad essa che Luca Pacioli è tuttora generalmente considerato il padre della registrazione a partita doppia.

È piuttosto noto che il paese che più contribuì allo sviluppo del Rinascimento fu l'Italia. Anche altre regioni culturali europee fornirono tuttavia consistenti contributi a questo grande movimento artistico e culturale. Nell'ambito matematico l'apporto dell'area culturale tedesca fu, ad esempio, tutt'altro che trascurabile. Soprattutto sotto l'aspetto dell'introduzione di nuove notazioni.
Un matematico tedesco che si guadagnò un posto nella storia della matematica essenzialmente per essere stato il primo ad usare i simboli + e - per l'addizione e la sottrazione fu Johannes Widmann (Cheb 1460 Lipsia 1489). 
Widmann fu docente presso l'università di Lipsia e nell'anno della sua morte a soli 38 anni pubblicò il suo trattato di Mercantile Arithmetic intitolato Behende und hüpsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft che, come potete constatare nell'immagine di sinistra, fa uso dei simboli che divennero in seguito lo standard universale soppiantando la notazione italiana p ed m.

Un altro matematico di area tedesca che va citato solamente per il fatto di aver introdotto nuove notazioni è Christoph Rudolff (Jawor, 1499 – Vienna, 1545). Il simbolo da lui introdotto è quello attualmente in uso per la radice quadrata: √. In seguito Eulero propose la congettura che questo simbolo sia stato ottenuto attraverso deformazioni della lettera "r" (dall'iniziale della parola latina radix). Rudolff introdusse inoltre la notazione e la definizione di x⁰ = 1. Quindi ora sapete con chi prendervela quando vi chiedete: ma perché x⁰ = 1?
Rudolff detiene anche il primato di essere stato il primo ad usare il tedesco  per scrivere un libro di algebra: il suo Die Coss (versione integrale).

Il terzo tra i matematici tedeschi che citerò qui è Michael Stifel (Esslingen 1487 – Jena 1567). Stifel è l'autore della più importante fra le algebre tedesche del XVI secolo: l'Arithmetica integra (1544); in cui, attraverso l'introduzione dei coefficienti negativi, Stifel unificava i vari casi di equazioni di secondo grado.
Nell'Arithmetica integra Stifel prende anche in considerazione una questione che tormentò molti matematici che lo avevano preceduto e che ne tormenterà altri che lo seguiranno. E cioè se gli irrazionali possano  essere considerati numeri oppure no. Da una parte Stifel propenderebbe ad accettarli come veri numeri, in quanto, nella geometria, gli irrazionali riescono a risolvere problemi irrisolubili con i soli numeri razionali. D'altra parte, il fatto che la rappresentazione in notazione decimale degli irrazionali richiederebbe un numero infinito di cifre dopo la virgola condusse Stifel alla conclusione che gli irrazionali non possono  essere considerati come dei veri numeri in quanto "l'infinito stesso non più essere considerato come un numero". In realtà poi le cose cambieranno: circa tre secoli dopo con Dedekind.
Anche Stifel detiene inoltre un primato. E cioè quello di essere stato il primo ad usare la giustapposizione senza simboli tra i termini per la moltiplicazione. Cioè l'uso di X₁X₂X₃ per indicare il prodotto tra X₁, X₂ e X₃.

Concludo questa puntata con un ultimo primato che si ricollega a vicende della nostra attualità (non più molto attuale oramai). E cioè il "greve uso dell'acronimo S.P.Q.R. Sembra che, con grande dispiacere di una parte dei nostri concittadini, il primato spetti al nostro frate Luca Pacioli.

Nella prossima puntata parleremo di altri matematici del rinascimento italiano come Del Ferro, Tartaglia e Cardano e del loro ruolo nella scoperta della formula risolutiva per le equazioni di 3° e 4° grado.

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Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 12: Al-Khwārizmī

Dicevamo quindi che nelle prime fasi dell'apprendimento e dello sviluppo della Matematica gli Islamici attinsero molto ai risultati delle grandi culture che li precedettero: ovviamente da quella greca, ma anche da quella indiana e babilonese; e che fu proprio grazie alle traduzioni dei lavori dei matematici indiani effettuate dai matematici islamici che in Europa si cominciò a diffondere il sistema numerico indù che andò lentamente sostituendo gli scomodi sistemi numerico-alfabetici romano e greco.
Abbiamo anche visto che un altro grande dono dei matematici indiani veicolatoci dai matematici islamici fu lo Zero.

Il più celebre tra i matematici islamici è sicuramente Al-Khwārizmī
(محمد خوارزمی Corasmia o Baghdad, 780 circa – 850 circa).

Produsse risultati rilevanti in diversi campi del sapere matematico-scientifico, come la trigonometria, l'astronomia/astrologia, la geografia e la cartografia.

Il suo nome però è inestricabilmente legato agli algoritmi e all'Algebra.
Le stesse parole "algoritmo" (o "algorismo") e "algebra" derivano rispettivamente da Algoritmi, la latinizzazione del suo nome, e dal nome del suo libro al-Kitāb al-mukhtasar fī hisāb al-jabr wa 'l-muqābala (الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة), scritto verso l’825 e tradotto in latino nel XII secolo con il titolo “Algoritmi de numero Indorum”, che fu forse la prima opera completa sul sistema di numerazione indo-arabico. Grazie a questa traduzione tale sistema di numerazione, che introduceva anche il numero zero, si diffuse nel Vicino e Medio Oriente e successivamente in Europa.

Girolamo Cardano, nel suo Ars Magna, considera al-Khwārizmī addirittura il creatore dell'algebra.
Fu solo nel secondo decennio del XVII secolo, soprattutto grazie alla famosa traduzione in latino di Bachet (1621) dell'"Arithmetica" di Diofanto - come abbiamo già visto la prima traduzione fu di un italiano, Raffaele Bombelli, nel 1570, ma non venne mai pubblicata
- che si cominciò ad essere consapevoli anche del grande contributo di Diofanto allo sviluppo dell'Algebra.

Oggi si sa che abbozzi di metodi algebrici erano già presenti nella matematica babilonese e in quella egiziana nel II millennio a.C.

Ciò non toglie importanza al lavoro di al-Khwārizmī che raccolse materiale dalle tradizioni greca, indiana e siriaco-mesopotamica, ampliò il lavoro di Brahmagupta e di Diofanto sulle equazioni algebriche e compilando così un'opera che divenne un punto di riferimento per lo sviluppo dell'algebra moderna.

La sua opera (al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ǧabr wa-al-muqābala) si diffuse in Europa grazie soprattutto alle traduzioni in latino di Roberto di Chester a Segovia (con il titolo Liber algebrae et almucabala), nel 1145, e quella di Gerardo da Cremona.

Nella prossima puntata parleremo degli ulteriori sviluppi dell'algebra presso i matematici islamici.

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Chi vincerà il mondiale del 2014? Una questione di Logica intuizionista? - Appendice 2

Nell'appendice numero uno dicevamo che tra le principali differenze della Logica intuizionista rispetto alla Logica classica c'è sia la non validità del principio del terzo escluso che la non validità dell'equivalenza tra affermazione e doppia negazione (I ↔ ¬¬I).

Usando quindi gli strumenti della Logica intuizionista, non sì potrà ad esempio dedurre la profezia Italia '14 (P="o l'Italia vincerà il mondiale del 2014 oppure l'Italia non vincerà il mondiale del 2014").
Inoltre, usando l'intuito, molti di voi probabilmente direbbero che affermare che l'Italia vincerà il mondiale del 2014 è equivalente a dire che non è vero che l'Italia non vincerà il mondiale del 2014.
O detto in termini simbolici:

I ↔ ¬¬I

Invece nella Logica intuizionista, dal fatto che l'Italia vincerà il mondiale del 2014 si potrà sì dedurre che non è vero che l'Italia non vincerà il mondiale del 2014 ( I → ¬¬I ), ma non vale il viceversa. Cioè dal fatto che non è vero che l'Italia non vincerà il mondiale del 2014 non si potrà dedurre che l'Italia vincerà il mondiale del 2014 (¬¬I → I).

A questo punto risulta sicuramente interessante vedere molto brevemente qualche cenno di semantica per la Logica intuizionista. È infatti grazie ad essa che possono essere verificate le suddette affermazioni.
Il primo a fornire una semantica per la Logica intuizionista fu Heyting, un allievo di Brouwer.
In modo simile alla semantica per la Logica proposizionale classica, in cui l'algebra booleana viene usata per stabilire se una formula sia vera o falsa, Heyting pensò di introdurre un nuovo tipo di algebra, chiamata in seguito algebra di Heyting, per stabilire se una formula sia vera o falsa nell'ambito della Logica intuizionista.

La Logica proposizionale classica, come la maggior parte dei sistemi di Logica matematica, è costituita da una parte sintattica ed una parte semantica.La parte sintattica è quella che si occupa di definire la corretta struttura delle formule; e nella quale si include di solito anche l'apparato deduttivo che definisce gli assiomi e le regole che consentono di dedurre i teoremi a partire dagli assiomi.
Mentre la parte semantica, che risulta di solito più semplice ed intuitiva, è quella che si occupa di definire il significato dei simboli.

Per definire una semantica della Logica proposizionale classica si può partire ad esempio da una funzione di valutazione che va dall'insieme L delle formule all'insieme {V,F} (vero, falso). O detto in termini più semplici, si definisce un meccanismo per determinare in quali casi una formula sia vera o falsa. La funzione la si definisce nel seguente modo:

v : L → {V,F}

tale che per ogni coppia di formule A e B valgano le seguenti condizioni (sse sta per se e solo se):

v(¬A) = V sse v(A) = F  (¬A è vera sse A è falsa)

v(¬A) = F sse v(A) = V  (¬A è falsa sse A è vera)

v(A∧B) = V sse v(A) = V e v(B) = V  (A∧B è vera sse A è vera e B è vera)

v(A∨B) = V sse v(A) = V oppure v(B) = V  (A∨B è vera sse A è vera oppure B è vera)

v(A→B) = V sse v(A) = F oppure v(B) = V  (A→B è vera sse A è falsa oppure B è vera)

Ciò che collega la sintassi con la semantica sono i teoremi di completezza, il cui scopo è dimostrare l'equivalenza tra il concetto di dimostrabilità sintattica ed il concetto di verità semantica. Nel caso particolare della Logica classica (sia proposizionale che predicativa) interviene il Teorema di completezza di Gödel (da non confondere con il Teoremi di incompletezza di Gödel) ad asserire che una formula è dimostrabile sse è vera per ogni funzione di valutazione.

Similmente, anche nel caso della Logica proposizionale intuzionista si può definire una funzione di valutazione, ma di tipo un po' diverso. Invece di essere correlata ad un'algebra booleana la funzione di valutazione della Logica proposizionale intuzionista è correlata ad un'algebra di Heyting.
Ad esempio si può definire la funzione di valutazione che va dall'insieme L delle formule all'insieme dei sottinsiemi aperti della retta reale:

v : L → {int(S) : S ⊆ R} dove int(S) è la parte interna di S

tale che per ogni coppia di formule A e B valgano le seguenti condizioni:

v(A) = int(v(A))

v(¬A) = int(v(A)^C) dove X^C è il complemento di X

v(A∧B) = v(A) ∩ v(B)

v(A∨B) = v(A) ∪ v(B)

v(A→B) = int(v(A)^C ∪ v(B))

Anche in questo caso intervengono teoremi di completezza a dirci che le formule dimostrabili della Logica intuzionista coincidono con quelle valide e che queste ultime sono esattamente quelle per cui v(A) = R per ogni scelta di v. Cioè quelle a cui la funzione di valutazione associa l'insieme più grande: tutta la retta reale.

Grazie a questi teoremi si può facilmente verificare che la formula ¬(A ∧ ¬A) è valida. Il fatto che questa formula risulti valida è un requisito minimale affinché un sistema di Logica matematica possa destare qualche interesse. Se essa risultasse non valida infatti esisterebbero delle A per cui il sistema potrebbe dimostrare sia A che ¬A. Il sistema risulterebbe quindi contraddittorio.
La validità di ¬(A ∧ ¬A) si può dimostrare in quanto ponendo v(A) = X, indipendentemente dall'insieme X che viene scelto come valore della formula A, il valore di ¬(A ∧ ¬A) sarà sempre uguale all'intera retta reale R. Infatti

v(¬(A ∧ ¬A)) =

int((v(A ∧ ¬A))^C) =

int((v(A) ∩ v(¬A))^C) =

int((X ∩ int((v(A))^C))^C) =

int((X ∩ int(X^C))^C) =

(Siccome int(X^C) è un sottinsieme di X^C allora

X ∩ int(X^C) = ∅)

int((∅)^C)=int(R)=R

Invece si può facilmente mostrare che il principio del terzo escluso (A ∨ ¬A) non è valido. A tal scopo è sufficiente trovare una particolare funzione di valutazione v per cui risulti v(A ∨ ¬A) ≠ R.
Basta scegliere v(A) = {x ∈ R : x > 0 }. Si avrà infatti:

v((A ∨ ¬A)) =

v(A) ∪ v(¬A) =

v(A) ∪ int(v(A)^C) =

{x ∈ R : x > 0 } ∪ int({x ∈ R : x ≤ 0 }) =

{x ∈ R : x > 0 } ∪ {x ∈ R : x < 0 }) =

{x ∈ R : x ≠ 0 } ≠ R che è ciò che si voleva dimostrare

Potremo quindi finalmente concludere che usando gli strumenti della Logica intuizionista, non sì può dedurre la profezia Italia '14.

Ho anche provato a dimostrare che nella Logica intuizionista vale (I → ¬¬I), ma non vale il viceversa (¬¬I → I). Per chi fosse interessato può dare uno sguardo a questo mio tentativo di dimostrazione.

Il rinascimento: Recorde e il simbolo =; Bombelli, gli irrazionali e i complessi coniugati - Numeri e Geometria attraverso la storia

Nella puntata precedente abbiamo parlato dell'ingarbugliata questione della soluzione dell'equazione cubica. Il problema che tanto aveva infruttuosamente impegnato le menti di molti grandi matematici greci, cinesi, indiani e islamici, era stato finalmente risolto da Del Ferro, Tartaglia e Cardano.
A vedere i nomi affiancati qualcuno potrebbe pensare che si trattò di un lavoro di gruppo. Tutt'altro! Quello che fu probabilmente il maggiore contributo dato all'algebra da quando i babilonesi avevano capito come risolvere le equazioni di secondo grado quattromila anni prima, fu il risultato di inganni e battaglie tra i tre matematici. E l'ingiustizia si propaga fino a oggi attraverso la denominazione delle risultanti formule di risoluzione. Chiamate ancora formule di Cardano ignorando così i contributi di Del Ferro e Tartaglia.

Due puntate fa si era parlato invece di Luca Pacioli, dei matematici tedeschi, dei nuovi simboli (+, - e √) e delle nuove notazioni.

Volendo estendere il tema dell'introduzione di nuovi simboli possiamo citare Robert Recorde (1510 – 1558) che fu l'unico matematico degno di nota nell'Inghilterra del XVI secolo. Recorde studiò e insegnò matematica a Oxford e a Cambridge, ottenne il titolo di dottore in medicina a Cambridge e arrivò ad essere il medico personale di Edoardo VI e Maria Stuarda.

Un anno prima della sua morte, nel 1557, Recorde pubblicò The Whetstone of Witte. In questo libro compare per la prima volta il simbolo = per l'uguaglianza. Passò tuttavia più di un secolo prima che tale simbolo si affermasse sugli simboli altri preesistenti.

A questo punto possiamo tornare in Italia e citare un altro importante algebrista: Raffaele Bombelli (Bologna, 1526 – Roma, 1573). Essendo nato venticinque anni dopo Cardano, Bombelli si formò anche sui lavori del grande algebrista che lo aveva preceduto e probabilmente seguì pure la questione della contesa soluzione dell'equazione cubica.
Sebbene già introdotti nelle formule risolutive di Del Ferro-Tartaglia-Cardano, i numeri complessi non possedevano ancora una vera dignità di numeri. Fu proprio Bombelli a imprimere un forte impulso in quella direzione attraverso la definizione di regole per l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione dei numeri complessi.
Bombelli ebbe anche un'importante intuizione che anticipò il ruolo importante che i complessi coniugati avrebbero ricoperto in futuro¹.
Un altro contributo del matematico bolognese fu quello relativo alla notazione algebrica usata nella sua grande opera: L'Algebra. Notazione che impresse una forte spinta all'algebra sincopata del tempo nel suo cammino verso l'algebra simbolica moderna.

Per mostrare la notazione di Bombelli ho rubato l'immagine di destra al blog Fermat's Last Theorem³. Bombelli però, nel suo lavoro, non usò il simbolo = per l'uguaglianza. Seppure già introdotto da Recorde, infatti, quel simbolo si trovava ancora a distanze troppo grandi dalla penisola.
Due puntate fa avevamo anche visto come Stifel  prese in considerazione una questione che tormentò molti matematici che lo avevano preceduto e che ne tormenterà altri che lo seguiranno. E cioè se gli irrazionali possano essere considerati numeri oppure no. Stifel era combattuto tra l'accettarli come veri numeri e il rifiutarli in quanto la loro rappresentazione avrebbe richiesto un numero infinito di cifre dopo la virgola. Bè, Bombelli apportò un contributo anche qui attraverso un'ipotesi che conoscerà un grande successo. E cioè che ci sia una corrispondenza biunivoca tra i numeri reali e le lunghezze su una retta. Bombelli definì quindi le quattro operazioni su tali lunghezze e usò quelle per definire le quattro operazioni sui numeri reali.² In tal modo egli fornì una nuova tecnica per risolvere il millenario problema dei numeri irrazionali. Tuttavia, così come i precedenti tentativi di risolvere le difficoltà relative all'inclusione degli irrazionali tra i numeri, anche questo tentativo non risolveva del tutto il problema in quanto rendeva i numeri reali un'entità dipendente dalla geometria.

Nella prossima puntata parleremo dell'introduzione di altri simboli e di Copernico.

Puntate precedenti...

Indice della serie

¹ Carl B. Boyer: Storia della matematica, Oscar Saggi Mondadori

² Morris Kline, Mathematics - the loss of certainty, Oxford Paperbacks

³ Fermat's Last Theorem (blog), Rafael Bombelli.

Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 13: i matematici islamici, l'Algebra e il ritorno di Pitagora

Nella puntata precedente abbiamo visto che il lavoro di al-Khwārizmī sulle equazioni algebriche portò alla nascita di un'opera che sarebbe divenuta un punto di riferimento per lo sviluppo dell'algebra moderna.

Stando a quello che J. J. O'Conner e E. F. Robertson scrivono nel MacTutor History of Mathematics archive, forse uno dei progressi più significativi dei matematici islamici fu proprio l'introduzione e lo sviluppo di una loro metodologia algebrica. Questo nuovo approccio algebrico rappresentava un nuovo rivoluzionario spostamento dalla concezione greco-platonica della Matematica, che era essenzialmente geometrica. La nuova metodologia algebrica reincorporava, almeno da un punto di vista pratico, l'idea pitagorica (Tutto è Numero) ed unificava numeri razionali, numeri irrazionali, e grandezze geometriche trattando tutte queste entità in gioco come "oggetti algebrici". Si potrebbe quindi a posteriori attribuire ai matematici islamici (un po' arbitrariamente) il motto ottenuto da una parafrasi di quello pitagorico: Tutto è Algebra.

I matematici islamici furono quindi i primi a trattare nella pratica i numeri irrazionali come oggetti algebrici. Anche se una vera giustificazione teorica rigorosa di tale prassi la troverà Dedekind diversi secoli dopo.
Ma come riuscirono a mettere in pratica ciò che non era riuscito ai pitagorici ? Beh, da un punto di vista puramente tecnico-sintattico non fecero nulla di eccezionale: accettarono semplicemente l'idea che anche le grandezze irrazionali, come la misura della diagonale del quadrato, potessero essere trattate alla stregua degli altri Numeri. Estesero quindi le operazioni aritmetiche alle grandezze irrazionali e si accorsero che le cose funzionavano. Visto a posteriori non sembra nulla di eccezionale; ma nella realtà tale idea impresse un fortissimo impulso al progresso della Matematica: il solito Uovo di Colombo.
A questo punto non posso esimermi dal compiere un enorme balzo in avanti nel tempo e citare John von Neumann, matematico del '900, tanto grande quanto moralmente discutibile:

"Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." (*)
"Ragazzo, nella Matematica le cose non si capiscono. Semplicemente ci si abitua ad esse."

Frase pronunciata in risposta ad un suo studente che chiedeva spiegazioni.

Quindi i matematici islamici semplicemente si "abituarono" a considerare e a trattare le grandezze irrazionali allo stesso modo dei numeri razionali.
La nuova metodologia algebrica risolveva quindi quella che era stata la causa del crollo del modello pitagorico. Voi mi direte, ma anche l'approccio platonico-euclideo risolveva la lacuna pitagorica. Sì, ma quello implicava un'interpretazione dei concetti numerici in un modello puramente geometrico. Il modello degli Islamici era invece puramente numerico.

Oltre ad al-Khwārizmī altri due nomi che vanno necessariamente citati per i loro contributi al nuovo approccio algebrico sono quelli di Abū Kāmil (850 d.C. – 930) e al-Karkhi (953 d.C. Karaj – 1029)

In particolare di Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (c. 850 – 930), matematico egiziano, si può dire che sia stato il primo ad accettare i numeri irrazionali (spesso nella forma di radice quadrata, cubica o quarta) come soluzioni di equazioni quadratiche e come coefficienti di equazioni.
Il matematico iracheno Al-Hashimi, invece, nel X sec. fornì dimostrazioni di carattere algebrico per i numeri irrazionali e usò le quattro operazioni su quei numeri.

Un altro matematico islamico illustre, il cui contributo allo sviluppo della Matematica è forse paragonabile a quello di al-Khwārizmī è Omar Khayyám.
Ma questo lo vedremo nella prossima puntata.

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Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 8: la Biblioteca di Alessandria: Eratostene, Diofanto e Pappo

Quando frequentavate la scuola elementare la maestra vi diceva che prima di Colombo si pensava che la terra fosse piatta? A me sì.
Bè, è un'affermazione totalmente falsa. Ne parlerò in questa puntata.

Nella puntata precedente dicevamo che un nuovo polo del sapere matematico si ricostituì ad Alessandria ed in particolare nella Biblioteca di Alessandria.
Dicevo inoltre che tra i vari nomi di spicco che vorrei ricordare, oltre al già ricordato Archimede, ci sono Eratostene, Diofanto e Pappo.

Di Eratostene di Cirene (Cirene, 276 a.C. – Alessandria d'Egitto, 194 a.C.) vanno citati assolutamente due grandi risultati: il primo relativo alla Matematica ed in particolare alla Teoria dei Numeri, e il secondo relativo alla Geografia.

Il primo grande risultato è un algoritmo e cioè un metodo per la soluzione di un problema. In particolare quello di Eratostene, in seguito denominato il crivello di Eratostene, è un algoritmo per il calcolo di tutti i numeri primi fino ad un certo numero numero prefissato. Se volete vedere una simpatica animazione del metodo cliccate qui.

Il secondo grande risultato è quello che smentisce la vostra maestra delle scuole elementari.
Eratostene, nel III sec a.C., più di un millennio e mezzo prima della nascita di Colombo, misurò con una certa precisione il meridiano terrestre. Misurò cioè la circonferenza massima della sfera (vabbè, non è proprio una sfera, ma allora questo effettivamente non lo sapevano) terrestre. Questo fatto dimostra quindi che già allora la consapevolezza che la terra non fosse piatta era piuttosto diffusa, almeno tra gli intellettuali.

Eratostene stimò una lunghezza del meridiano terrestre di 252.000 stadi.
Si stima che uno stadio fosse compreso tra i 155 e i 160 metri. L'errore di Eratostene è quindi al massimo di solo il -2,4% rispetto al valore corretto.

Eratostene si accorse che a mezzogiorno del giorno del solstizio d’estate l'ombra proiettata da un'asta verticale nella città di Siene, l'odierna Assuan, (che si trova sul Tropico del Cancro) scompariva totalmente, mentre ad Alessandria l'ombra non scompariva. Ergo la superficie della terra non poteva essere piatta. Eratostene assunse che la forma della terra fosse una sfera e usando la misura di un angolo (tra cateto maggiore e ipotenusa) del triangolo rettangolo con asta e ombra come cateti; e cioè l'angolo di incidenza dei raggi solari, misurò lunghezza del meridiano terrestre pari a 252.000 stadi egizi e quindi, secondo le stime, circa 39.375 km (contro i circa 40.000 reali).

Eratostene si cimentò anche nella creazione di mappe. Trovo molto affascinante questa sua mappa (da premettere che io sono un appassionato di mappe, soprattutto se antiche) dell'intero mondo conosciuto allora: dalle isole britanniche fino a Ceylon e dal Mar Caspio fino all'Etiopia.

Anche se non fu un matematico alessandrino, non posso esimermi dal citare molto brevemente anche Apollonio di Perga (Perga, 262 a.C. – Murtina, 190 a.C.) passato alla storia per i suoi importantissimi lavori sulle sezioni coniche (e cioè ellisse (circonferenza), parabola e iperbole).

Diofanto (200 d.C. 284 d.C.) viene denominato a volte "il padre dell'algebra", anche se più spesso come padre dell'algebra si cita il matematico persiano al-Khwārizmī, nato circa mezzo millennio dopo Diofanto.
Pare che effettivamente Diofanto fu il primo ad ideare l'uso di un simbolismo matematico. Prima di Diofanto si usava esclusivamente il linguaggio naturale. Ad esempio, "l’espressione 3x + 7 = 4x veniva enunciata (e scritta) press'a poco in questo modo: tre volte una quantità incognita addizionate a sette unità sono eguali a quattro volte la stessa quantità incognita".
Per snellire tali lunghe parafrasi Diofanto introdusse alcuni simboli per rappresentare gli operatori aritmetici più comuni prendendoli a prestito dall’alfabeto greco.

Alla notorietà di Diofanto contribuì molto un fatto che avvenne quasi due millenni dopo la morte del matematico alessandrino; e precisamente nel 1637, quando Pierre de Fermat, leggendo la traduzione in latino di Bachet del 1621 dell'"Arithmetica" di Diofanto (la prima traduzione in latino dell'"Arithmetica" fu di un italiano, Raffaele Bombelli, nel 1570, ma non venne mai pubblicata) scrisse ai margini della sua copia il seguente celebre enunciato accompagnato dalla non meno celebre frase:

Non esistono quattro numeri interi positivi a, b, c ed n>2 tali che:

aⁿ + bⁿ = cⁿ

"Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto di questa pagina".

In realtà questa non era né l'unico enunciato che Fermat scrisse ai margini della sua copia dell'Arithmetica né l'unico enunciato di cui non fornì la dimostrazione. Il suddetto enunciato divenne però celeberrimo in quanto tutti gli altri vennero dimostrati negli anni successivi alla morte di Fermat, mentre questo rimase indimostrato per più di 350 anni. Generazioni di illustri matematici tentarono inutilmente di dimostrarlo. Per questo, da un certo punto in poi venne chiamato l'ultimo (o grande) teorema di Fermat.
Questa storia la vedremo però con maggiori dettagli in diverse delle puntate seguenti.

L'ultimo matematico alessandrino che vorrei ricordare è Pappo di Alessandria (290 d.C. – 350 d.C.)

Pappo di Alessandria visse in un periodo di decadenza degli studi geometrici. Di tutte le sue opere l'unica pervenutaci è quella intitolata Synagoge, nota anche come Collectiones mathematicae.

È in questa opera che Pappo dimostra il teorema dell'esagono che ricopre un ruolo fondamentale nella moderna geometria proiettiva e con cui ho avuto a che fare durante i miei studi nell'esame di Geometria I.

Nella prossima puntata vedremo il declino della Biblioteca di Alessandria ....

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Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 14: Omar Khayyám e altri risultati della matematica islamica

Nella puntata precedente abbiamo visto come i matematici islamici introdussero nuova metodologia algebrica che reincorporava, almeno da un punto di vista pratico, l'idea pitagorica (Tutto è Numero) ed unificava numeri razionali, numeri irrazionali, e grandezze geometriche trattando tutte queste entità in gioco come "oggetti algebrici".

Dicevamo inoltre che un altro matematico islamico illustre, il cui contributo allo sviluppo della Matematica è forse paragonabile a quello di al-Khwārizmī è Omar Khayyám (Nīshāpūr 1048 – 1131 d.C.).


Omar Khayyám scrisse un libro sull'Algebra che estendeva i risultati dell'Al-Jabr di al-Khwārizmī includendo le equazioni di terzo grado. Per tali equazioni però Omar Khayyám fornì solamente soluzioni basate su metodi geometrici (intersezioni di coniche) credendo erroneamente che fosse impossibile trovare soluzioni basate su metodi aritmetici.
Soluzioni basate su metodi aritmetici vennero trovate quasi mezzo millennio dopo dal matematico italiano Scipione Dal Ferro. Anche se Niccolò Tartaglia, e Girolamo Cardano inscenarono un'accesa, patetica e gretta controversia per accaparrarsi la paternità dei metodi risolutivi.

Omar Khayyám fu anche un grande precursore dei tempi in campo geometrico. Un altro suo grande risultato consistette infatti nel primo tentativo di formualzione di un postulato non-Euclideo come alternativa al quinto postulato Euclideo sulle parallele. Questione che venne definitivamente risolta in Europa solo nel XIX sec. prevalentemente ad opera di Gauss e Riemann.
In qualche modo quindi Omar Khayyám, anche se un po' inconsapevolmente, fu il primo a considerare le Geometrie non-Euclidee. In particolare la Geometria ellittica e quella iperbolica, anche se Khayyám escluse la seconda.

Tra le altre curiosità della matematica islamica che andrebbero citate c'è sicuramente l'origine dell'uso del simbolo x come variabile incognita.
Parrebbe che questo uso si possa far risalire all'uso della parola araba “šay'” (شيء ), che significa “cosa”, nei testi di Algebra islamici (anche in Al-Jabr) a significare appunto "variabile incognita".
Tale parola entrò quindi nelle traduzioni in Spagnolo con la pronuncia “šei”, che veniva translitterata in “xei” e che presto venne abbreviata con una “x”.

Un altro primato che va anche citato è quello dell'uso per la prima volta della dimostrazione per induzione.
La prima occorrenza nota di tale metodo si trova nell'opera al-Fakhri, scritta intorno all'anno 1000 da Al-Karaji. Il metodo viene usato per dimostrare sequenze aritmetiche com il triangolo di Tartaglia.

Dalla prossima puntata abbandoneremo i matematici islamici per spostarci di nuovo verso l'Europa cristiana.

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Il rinascimento: Cardano, Tartaglia, del Ferro e le formule contese - Prima parte

Nella puntata precedente abbiamo visto che Stifel nella sua Arithmetica integra del 1544 unificò i vari casi di equazioni di secondo grado. L'opera di Stifel risultò tuttavia superata già dopo un anno di vita.

Nel 1545 usciva infatti l'Ars Magna di Gerolamo Cardano (1501 -1576) che conteneva le soluzioni delle equazioni sia di terzo che di quarto grado. Un progresso sbalorditivo e inatteso per l'algebra. Tanto da portare qualche storico a considerare il 1545 come l'anno di inizio del periodo moderno della matematica.
Cardano tuttavia non fu lo scopritore né della soluzione delle equazioni di terzo grado né di quella delle equazioni di quarto grado.

Perché fu lui allora il primo a pubblicarle? E a chi andrebbe invece la vera gloria per la scoperta?

La storia non è delle più edificanti.

È Cardano stesso ad ammettere nel suo libro che l'idea gliel'aveva data Niccolò Tartaglia (1499 – 1557). Nome che a molti di voi evocherà il celebre Triangolo di Tartaglia. Triangolo che in realtà era già noto qualche secolo prima, ma che in molti paesi tuttora viene denominato ancora più a sproposito Triangolo di Pascal.
Ma tornando alle equazioni, dicevamo che Cardano scrisse che l'idea gliel'aveva data Tartaglia. Quello che invece Cardano dimenticò di scrivere è che Tartaglia gli aveva fatto solennemente promettere di non divulgare il segreto. Quest'ultimo aveva infatti in mente di scrivere un trattato sull'algebra in cui la rivelazione della soluzione delle equazioni di terzo grado sarebbe stata la ciliegina che lo avrebbe coronato come il più grande matematico del tempo.

La vera gloria per la scoperta andrebbe quindi a Tartaglia?
Non proprio. Intanto per evitare che Tartaglia venga considerato la povera vittima innocente bisogna ricordare che anche lui nel 1543 aveva pubblicato una traduzione archimedea altrui spacciandola per propria.
Ma per sbrogliare la matassa bisogna tornare qualche anno indietro.

E precisamente al 1526 anno della morte di Scipione del Ferro (1465 – 1526). Fu allora che del Ferro, professore di matematica all'università di Bologna, rivelò sul letto di morte ad un suo studente, Antonio Maria Fior, la soluzione delle equazioni di terzo grado della forma x³ + px = q. Come nota a margine qui bisogna aggiungere che a quei tempi le notazioni algebriche erano un po' diverse e che la suddetta equazione veniva espressa più o meno in questo modo: "trovare cubo et cose equal a un numero".
Non si sa come e quando del Ferro fosse riuscito a scoprire la soluzione. Non aveva infatti mai voluto rivelare né tantomeno pubblicare la sua scoperta. Ma non aveva neppure rivelato di aver fatto una scoperta. Forse perché pensava di pubblicarla solo quando avrebbe trovato la soluzione per l’equazione più generale: x³ + mx² + px = q (trovare cubo, censi et cose equal a numero).
Ad ogni modo, la voce della rivelazione cominciò a circolare nell'ambiente dei matematici e raggiunse probabilmente anche l'orecchio di Tartaglia. A quel punto Tartaglia fu probabilmente stimolato a sviluppare delle sue ricerche in merito. Non si sa bene quanto queste ricerche avvennero in modo indipendente e quanto fossero basate su idee altrui. Fatto sta che nel 1530 Tartaglia era in possesso di una formula risolutiva per un altro tipo di equazioni di terzo grado. Questa volta le equazioni della forma x³ + mx² = q (trovare cubo et censi equal a numero).
Tartaglia ne parla con qualcuno, l'ambiente dei matematici è piccolo, e di nuovo la voce della scoperta si diffonde e giunge fino alle orecchie di Antonio Maria Fior. A quel punto Fior, pensando che Tartaglia sia un impostore, pensa bene di sfidarlo pubblicamente a singolar tenzone. Questa sorta di duelli pubblici tra uomini di scienza erano all'epoca molto diffusi.

In che cosa consistevano?

Ciascuno dei duellanti sottoponeva all'altro una lista di problemi da risolvere entro una certa data. Dopodiché, nella data e nel luogo stabilito, gli sfidanti presentavano pubblicamente le eventuali soluzioni. La posta in gioco erano fama, onore e danaro. Questo era uno dei motivi per cui le scoperte venivano spesso gelosamente custodite.

Nel nostro caso specifico gli accordi tra Fior e Tartaglia prevedono che ognuno fornisca all'avversario trenta problemi da risolvere entro quaranta giorni.
Il 22 febbraio 1535 è il giorno fissato. La piazza è gremita da una folla di studenti, professori, aspiranti matematici, sfaccendati, passanti curiosi, ma anche testimoni, giudici e un notaio. Tutti attendono la grande sfida. Il volto di Tartaglia, a differenza di quello di Fior, appare sereno. Nonostante ciò, quando il giudice gli dà la parola, Tartaglia parla a stento e la sua lingua inciampa più volte sulle parole. Come mai? L'espressione del volto era solo una maschera indossata per nascondere il nervosismo?

Lo scopriremo nella seconda parte...

Puntate precedenti...

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Il rinascimento: Cardano, Tartaglia, del Ferro e le formule contese - Terza parte

Nella puntata precedente abbiamo lasciato Tartaglia di fronte al dilemma se resistere nonostante il giuramento di Cardano, oppure cedere rivelando la formula.
Cardano nel suo giuramento aveva abilmente tirato in ballo la fede cristiana. Tartaglia non se la sentì di infliggere un tale affronto a Cardano e cedette così a malincuore la formula.

Dopo aver decifrato l'enigma in versi, dietro il quale Tartaglia in un ultimo disperato tentativo aveva celato la formula, Cardano cominciò ad impegnarsi in ulteriori ricerche personali.
Il frutto di tali ricerche non tardò ad arrivare. Cardano scopre il celebre casus irriducibilis. Quel caso cioè in cui l'equazione di terzo grado ha tutte e tre le radici reali, ma nonostante ciò, per calcolare tali radici reali è necessario passare attraverso radici quadrate di numeri negativi. Sappiamo tutti però che un numero reale elevato al quadrato dà sempre come risultato un numero positivo (meno per meno fa più, no?). Ma allora che cosa erano questi numeri che elevati al quadrato davano come risultato un numero negativo? Che senso potevano avere a quei tempi in cui c'era molta riluttanza persino ad accettare i numeri negativi stessi? Figuriamoci le radici quadrate dei numeri negativi!
Ma Cardano fu molto pragmatico. Funzionano? Sì! E allora li usiamo. Sono ... un artificio algebrico utile per il calcolo.

Numeri "sofistici" li denominò. Con il tempo però tali numeri si rivelarono molto utili. Anche se inizialmente sembravano veramente degli artifici algebrici "che non dovrebbero esistere". Così vennero dapprima denominati "numeri immaginari" e poi numeri complessi. Cardano quindi, oltre che delle soluzioni dell'equazione di terzo grado, è anche considerato uno dei padri dei numeri complessi. Vedremo in seguito che molti altri matematici contribuirono allo sviluppo di tali numeri. Uno di questi fu Raffaele Bombelli. Ma ce ne occuperemo nelle prossime puntate.

Oltre alla scoperta del casus irriducibilis, Cardano fu anche il primo a produrre una dimostrazione rigorosa della formula risolutiva. Quindi, nonostante i raggiri, il contributo di Cardano allo sviluppo complessivo della formula non è affatto trascurabile.

Nei cinque anni successivi Cardano continua il suo lavoro di medico portando contemporaneamente avanti la stesura della sua Ars Magna, che vedrà la luce nel 1545. Con quest'opera la reputazione di Cardano assurgerà in breve tempo a quella di algebrista più celebre ed esperto d'Europa.
Tartaglia se ne procura prontamente una copia, e si accorge subito che l'Ars Magna contiene sia la soluzione dell'equazione di terzo grado, per cui viene esplicitamente citato il suo nome, che quella dell'equazione di quarto grado, la cui paternità viene attribuita a Lodovico Ferrari: "creato" e creatura di Cardano. 

La rottura del giuramento fa ovviamente infuriare Tartaglia. Il quale, da come lo riporta Lodovico Ferrari, taccia Cardano di essere "ignorante nelle matematiche, poverello, uomo che tien poco sugo e poco discorso, e altre parole ingiuriose le quali per tedio lascio da parte".

Tuttavia Cardano, nella citazione dei contributi per la scoperta delle formule, non si era limitato a citare Tartaglia e Ferrari. Egli aveva citato anche Scipione del Ferro. Ed è proprio questa citazione a fornirci degli indizi sul motivo che poteva aver indotto Cardano a rompere il giuramento. Il fatto cioè di aver scoperto che Tartaglia non poteva vantare il primato sulla paternità delle formule. Primato che Tartaglia doveva condividere con Scipione del Ferro. Ma forse a spingere Cardano alla rottura del giuramento aveva contribuito anche il fatto che la soluzione dell'equazione di quarto grado era stata ottenuta a partire dalla soluzione dell'equazione di terzo grado. E quindi la pubblicazione della prima non poteva prescindere dalla pubblicazione della seconda.

Volendo trarre delle conclusioni, citando Dario Bressanini, si può affermare che quelle che ancora oggi vengono denominate formule di Cardano forse dovrebbero più correttamente essere chiamate formule di Del Ferro-Tartaglia-Cardano: "tre autori per un'equazione di grado tre".
Comunque la si voglia interpretare non si può sicuramente negare che queste soluzioni siano un puro prodotto di quel grande movimento intellettuale, artistico, scientifico e culturale che è stato il Rinascimento italiano.
Il problema della soluzione dell'equazione cubica, che tanto aveva infruttuosamente impegnato le menti di molti grandi matematici greci, cinesi, indiani ed islamici, era stato finalmente risolto. Quello di Del Ferro-Tartaglia-Cardano è probabilmente il maggiore contributo dato all'algebra da quando i babilonesi avevano capito come risolvere le equazioni di secondo grado quattromila anni prima.

Arrivati a questo punto ci si potrebbe chiedere: ma una volta arrivati al quarto grado, non ci si potrebbe spingere a cercare le soluzioni per il quinto e poi per il sesto, fino magari ad arrivare ad una formula generalizzata per il grado n? Effettivamente ci provarono in molti. Ma vedremo che dal quinto grado in poi la situazione si fa un po' più ingarbugliata. E la risposta definitiva arriverà solo più di due secoli dopo con Ruffini e Abel.

Dopo l'Ars Magna Cardano riuscì a produrre un altro importante contributo alla matematica contenuto in un libro scritto intorno al 1560: il Liber de ludo aleae. Libro che tratta di probabilità nel gioco e di metodi per barare. Nonostante gli scopi non propriamente edificanti, il Liber de ludo aleae contiene la prima trattazione sistematica della probabilità. La pubblicazione avverrà però postuma solo nel 1663.

Per chi volesse approfondire la storia delle formule risolutive dell'equazione di terzo grado segnalo il bellissimo articolo: Requiem per una formula. Dramma in sei atti con sei personaggi di Dario Bressanini. Da cui ho anche rubato le citazioni dei testi originali.

Per un ulteriore approfondimento c'è anche questo libro: La formula segreta. Tartaglia, Cardano e il duello matematico che infiammò l'Italia del Rinascimento.

Concludo con la citazione completa delle conclusioni dell'articolo di Bressanini:

Cosa rimane dopo centinaia d'anni di queste vicende? Nulla. Nei libri di testo trovate le “formule di Cardano”. Quasi nessuno cita Tartaglia, e Scipione dal Ferro è un perfetto sconosciuto. Forse sarebbe bene iniziare a chiamare le formule dal Ferro-Tartaglia-Cardano: tre autori per un'equazione di grado tre.

Nella prossima puntata parleremo dell'introduzione di altri simboli matematici e di Raffaele Bombelli, che come abbiamo già detto, contribuì allo sviluppo dei numeri complessi.

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La matematica degli Hindu: Śulbasūtra, influenze greche e zero posizionale

Lunedì 19 maggio, mentre preparavo l'aula a Mumbai per il corso che avrei dovuto tenere nei giorni successivi, ho notato una cornice appesa alla parete. Dopo una rapida occhiata mi sono accorto che parlava del matematico Bhāskara I esaltandone le qualità di precursore in diversi ambiti della matematica, che solo diversi secoli dopo sarebbero stati ripresi dai matematici europei. Mi è subito venuto in mente che nella mia serie di storia della matematica ho citato la matematica degli Hindu molto marginalmente e solo per introdurre la Matematica islamica. Forse è arrivato il momento di colmare la lacuna, mi son detto. E quindi eccoci qua a fornire un po' più di dettagli su quella matematica e su Aryabhata, Brahmagupta e Bhāskara: i primi grandi matematici del periodo classico indiano. 

Secondo Kline¹ non ci sono pervenute tracce dell'utilizzo della matematica in India antecedenti all'VIII sec. a.C. Il più antico documento che contiene qualche esempio primitivo di matematica degli Hindu sarebbero i Śulbasūtra. Prodotti in un periodo che va dall'VIII sec. a.C. al II sec. d.C., i Śulbasūtra contengono principalmente le istruzioni e la geometria per la costruzione di altari. Nel corso di tali progettazioni gli Hindu vennero a conoscenza di alcuni fatti geometrici come, ad esempio, il teorema di Pitagora, che compare enunciato in questa forma:
"La diagonale di un rettangolo oblungo produce da sola entrambe le aree che i due lati dell'oblungo producono separatamente"
Ma, come già detto anche per le antiche civiltà, essi possedevano una conoscenza applicativa del teorema di Pitagora senza comprenderne appieno la portata teorica. Furono i pitagorici i primi che ne compresero la profondità e che lo dimostrarono.
Per quanto riguarda invece l'aritmetica si conosce ben poco del periodo dei Śulbasūtra. Ad ogni modo, sia la geometria sia l'aritmetica erano prive di dimostrazioni. Quello che si usava erano solo delle regole empiriche.

Intorno al III sec. a.C. cominciano a comparire i simboli numerici brahmanici. Da notare l'uso di simboli diversi per i numeri da 1 a 9 ma senza che lo zero sia incluso nel sistema.
Kline afferma anche che la matematica hindu sarebbe diventata significativa solo dopo essere stata influenzata dai risultati greci. Producendo quello che viene indicato come il secondo periodo della matematica hindu. Che va dal III al XIII sec. d.C. All'inizio di questo periodo, scrive Kline, la geometria alessandrina influenzò in maniera determinante gli hindu, ma essi avevano un dono speciale per l'aritmetica. Anche la loro algebra è possibile sia stata mutuata da Alessandria, e forse anche direttamente da Babilonia, ma anche qui gli hindu produssero molti risultati.
Per quanto riguarda invece la nascita dello zero posizionale, che determinò lo sviluppo del celeberrimo sistema numerico posizionale hindu in base 10, da cui deriva il nostro moderno sistema di numerazione, gli storici la collocano in un periodo che va dal I al IV sec. d.C. Come esempio si può citare il manoscritto di Bakhshali il cui linguaggio implica una stesura non successiva al IV sec. d.C. Sebbene la prima occorrenza che indiscutibilmente mostra il simbolo dello zero compaia in una iscrizione ritrovata nel tempio Chaturbhuja di Gwalior e datata 876 d.C. Altri storici ritengono che uno dei primi esempi di un uso posizionale dello zero lo si possa trovare nella traduzione in Sanscrito di un testo del V sec. d.C. di cosmologia Giainista il cui originale è andato perso: il Lokavibhaga.
Per concludere, l'ipotesi più probabile è che lo zero posizionale sia stato usato sporadicamente per un certo periodo iniziato tra il I al IV sec. d.C. E che a partire dal VII sec. d.C. il suo uso abbia prevalso e sia entrato nell'uso comune.

È abbastanza certo, invece, che intorno al 500 l'astronomo Aryabhata cominciò a usare la parola kha ("vuoto") a significare "zero" in una disposizione tabellare delle cifre. Ma di Aryabhata, insieme a Brahmagupta e Bhāskara, parleremo nella prossima puntata.


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¹ Morris Kline, Storia del pensiero matematico - Einaudi