Segue da: Le lezioni di Eratocle: il teorema di Pitagora (terza parte)
Il giorno successivo Eratocle trovò Eurito già in aula. Il giovane cessò immediatamente i suoi esperimenti, depose stilo e tavolette e salutò il maestro con riverenza. Eratocle rispose con un cenno di finta noncuranza.
- Ieri abbiamo dimostrato il teorema di Pitagora attraverso semplici manipolazioni di figure geometriche: senza mai usare i numeri - cominciò Eratocle. - Oggi aggiungeremo a quelle figure delle considerazioni numeriche e ti mostrerò come numeri e figure geometriche siano inestricabilmente interconnessi. Ti accorgerai che i numeri rappresentano l'essenza delle figure geometriche.
Eratocle tirò fuori dalla sacca cinque bastoncini e li dispose sullo scrittoio in ordine di lunghezza.
- Il più piccolo di questi bastoncini è lungo un dito - disse Eratocle. - Secondo te quanto misurano gli altri?
Eurito prese il primo e il secondo. Li affiancò e li fece scorrere uno sull’altro: - A occhio mi sembra che il secondo sia il doppio del primo - disse. Poi giustappose il primo e il secondo e li affiancò al terzo. - Il terzo è uguale al secondo più il primo - osservò - e perciò è tre volte il primo. - Ripetendo l’operazione per i rimanenti due bastoncini Eurito trovò che il quarto era quattro volte il primo e il quinto cinque volte il primo. - Le lunghezze sono quindi uno, due, tre, quattro e cinque dita - disse Eurito mentre scriveva le cifre sulla tavoletta.
1 2 3 4 5
- Ora vorrei che tu provassi a costruire un triangolo rettangolo usando questi cinque bastoncini - disse Eratocle.
Eurito prese il primo, il secondo e il terzo bastoncino. Li affiancò, li spostò, li ruotò. - È impossibile - osservò infine. - Non si può costruire un triangolo con i lati di lunghezza uno, due e tre. - L'unica possibilità sarebbe quella di schiacciare i due lati corti su quello lungo fino a farli coincidere. Ma così otterremmo un segmento e non un triangolo. - Rifletté un attimo e poi continuò: - In realtà le combinazioni di bastoncini con cui posso costruire triangoli sono tre. E per la precisione quelle ottenute usando il secondo, il terzo e il quarto; il secondo, il quarto e il quinto; e il terzo, il quarto e il quinto. Infatti, la somma dei due latti più piccoli deve essere sempre più grande del lato più lungo, altrimenti ci si ritroverebbe in situazioni simili a quella precedente.
Poi Eurito prese il secondo, il terzo e il quarto bastoncino, ed ottenne rapidamente un triangolo. Lo osservò un istante. - Due degli angoli non sono sicuramente retti - disse - e non mi sembra che lo sia neppure il terzo.
- Se non sei totalmente sicuro, puoi provare a misurarlo - disse Eratocle indicando uno gnomone che giaceva sullo scrittoio.
- No, non si tratta di un angolo retto - disse Eurito dopo aver misurato. L'allievo costruì quindi un nuovo triangolo sostituendo il terzo bastoncino con il quinto e ridisponendo il secondo e il quarto.
- Su questo non ho dubbi! - esclamò. - Nessuno dei suoi angoli è retto.
Il giovane eliminò poi il secondo bastoncino, lo rimpiazzò con il terzo, spostò il quarto e il quinto e ottenne il triangolo di lati tre, quattro e cinque.
Eurito osservò la figura e dopo un istante le sue labbra e la sua fronte si distesero in un sorriso. Prese lo gnomone e lo dispose sull'angolo tra i lati di lunghezza tre e quattro: i bastoncini coincidevano perfettamente con i lati dello strumento. Senza proferir parola l'allievo andò a cercare nel volto del maestro la gratificazione attesa che egli, in uno scambio vicendevole di compiacimento, non gli negò.
- Bene - disse infine Eratocle. - Adesso cerchiamo di trarre qualche conclusione dagli esperimenti che abbiamo compiuto.
- Be', una cosa che ho appreso è che date le lunghezze dei tre lati possiamo distinguere tre casi. Con alcune lunghezze è proprio impossibile costruire il triangolo. Quando invece la somma delle lunghezze più piccole è maggiore della lunghezza più grande, allora è possibile costruire il triangolo. Ma solo con alcune lunghezze specifiche il triangolo costruito potrà essere rettangolo.
- Bravo! - lo lodò Eratocle. - E poi? Ti viene in mente qualcos'altro? Eurito stilò dei segni sulla tavoletta. Poi guardò i bastoncini: tre, quattro e cinque.
- Considera che tu hai trovato un criterio per distinguere due categorie di terne di numeri - riprese Eratocle - quelle con cui si può costruire un triangolo, come 2, 4 e 5, e quelle per cui la costruzione del triangolo risulta impossibile, come 1, 2 e 3.
- Sì - confermò immediatamente Eurito - e posso anche scrivere quel criterio. - Il giovane prese una nuova tavoletta. - Se indico le lunghezza dei bastoncini corti con a e b e quella del bastoncino lungo con c, allora, affinché si possa costruire un triangolo, è necessario che:
a più b sia maggiore di c
- Perfetto. - disse Eratocle. - Ma tu non avevi individuato anche un'altra categoria di terne di numeri?
- Be', non ho trovato una vera e propria categoria. Ho trovata una sola terna, 3, 4 e 5, che dà luogo ad un triangolo rettangolo. - Eurito gettò uno sguardo sulla tavoletta con la formula e poi ai bastoncini disposti a triangolo. - Ho capito! - esclamò infine l'allievo - Mi state esortando a trovare un altro criterio per individuare la categoria di terne che danno luogo ai triangoli rettangoli.
- Precisamente - confermò Eratocle. - Ma credo che prima avremo bisogno di riguardare insieme i numeri triangolari e i numeri quadrati. Lo faremo nel pomeriggio. Ora ho degli impegni da sbrigare.
Il giorno successivo Eratocle trovò Eurito già in aula. Il giovane cessò immediatamente i suoi esperimenti, depose stilo e tavolette e salutò il maestro con riverenza. Eratocle rispose con un cenno di finta noncuranza.
- Ieri abbiamo dimostrato il teorema di Pitagora attraverso semplici manipolazioni di figure geometriche: senza mai usare i numeri - cominciò Eratocle. - Oggi aggiungeremo a quelle figure delle considerazioni numeriche e ti mostrerò come numeri e figure geometriche siano inestricabilmente interconnessi. Ti accorgerai che i numeri rappresentano l'essenza delle figure geometriche.
Eratocle tirò fuori dalla sacca cinque bastoncini e li dispose sullo scrittoio in ordine di lunghezza.- Il più piccolo di questi bastoncini è lungo un dito - disse Eratocle. - Secondo te quanto misurano gli altri?
Eurito prese il primo e il secondo. Li affiancò e li fece scorrere uno sull’altro: - A occhio mi sembra che il secondo sia il doppio del primo - disse. Poi giustappose il primo e il secondo e li affiancò al terzo. - Il terzo è uguale al secondo più il primo - osservò - e perciò è tre volte il primo. - Ripetendo l’operazione per i rimanenti due bastoncini Eurito trovò che il quarto era quattro volte il primo e il quinto cinque volte il primo. - Le lunghezze sono quindi uno, due, tre, quattro e cinque dita - disse Eurito mentre scriveva le cifre sulla tavoletta.
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- Ora vorrei che tu provassi a costruire un triangolo rettangolo usando questi cinque bastoncini - disse Eratocle.
- Se non sei totalmente sicuro, puoi provare a misurarlo - disse Eratocle indicando uno gnomone che giaceva sullo scrittoio.
- No, non si tratta di un angolo retto - disse Eurito dopo aver misurato. L'allievo costruì quindi un nuovo triangolo sostituendo il terzo bastoncino con il quinto e ridisponendo il secondo e il quarto.
Il giovane eliminò poi il secondo bastoncino, lo rimpiazzò con il terzo, spostò il quarto e il quinto e ottenne il triangolo di lati tre, quattro e cinque.
- Bene - disse infine Eratocle. - Adesso cerchiamo di trarre qualche conclusione dagli esperimenti che abbiamo compiuto.
- Be', una cosa che ho appreso è che date le lunghezze dei tre lati possiamo distinguere tre casi. Con alcune lunghezze è proprio impossibile costruire il triangolo. Quando invece la somma delle lunghezze più piccole è maggiore della lunghezza più grande, allora è possibile costruire il triangolo. Ma solo con alcune lunghezze specifiche il triangolo costruito potrà essere rettangolo.
- Bravo! - lo lodò Eratocle. - E poi? Ti viene in mente qualcos'altro? Eurito stilò dei segni sulla tavoletta. Poi guardò i bastoncini: tre, quattro e cinque.
- Considera che tu hai trovato un criterio per distinguere due categorie di terne di numeri - riprese Eratocle - quelle con cui si può costruire un triangolo, come 2, 4 e 5, e quelle per cui la costruzione del triangolo risulta impossibile, come 1, 2 e 3.
- Sì - confermò immediatamente Eurito - e posso anche scrivere quel criterio. - Il giovane prese una nuova tavoletta. - Se indico le lunghezza dei bastoncini corti con a e b e quella del bastoncino lungo con c, allora, affinché si possa costruire un triangolo, è necessario che:
a più b sia maggiore di c
- Perfetto. - disse Eratocle. - Ma tu non avevi individuato anche un'altra categoria di terne di numeri?
- Be', non ho trovato una vera e propria categoria. Ho trovata una sola terna, 3, 4 e 5, che dà luogo ad un triangolo rettangolo. - Eurito gettò uno sguardo sulla tavoletta con la formula e poi ai bastoncini disposti a triangolo. - Ho capito! - esclamò infine l'allievo - Mi state esortando a trovare un altro criterio per individuare la categoria di terne che danno luogo ai triangoli rettangoli.
- Precisamente - confermò Eratocle. - Ma credo che prima avremo bisogno di riguardare insieme i numeri triangolari e i numeri quadrati. Lo faremo nel pomeriggio. Ora ho degli impegni da sbrigare.
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