venerdì, luglio 09, 2010

Chi vincerà il mondiale? Una questione di Logica intuizionista?

Scegliamo una squadra a caso tra quelle che hanno fatto una pessima figura nella fase finale del mondiale di calcio 2010. L'Italia ad esempio.
Potremmo già formulare un pronostico sui risultati dell'Italia ai modiali brasiliani del 2014?
Bè, potrei affermare ad esempio che:

o l'Italia vincerà il mondiale del 2014 oppure l'Italia non vincerà il mondiale del 2014

Penso che pochi proverebbero a contraddirmi. Ma siamo proprio sicuri che non ci sia un'altra possibilità? O come direbbe qualcuno, siamo proprio sicuri che tertium non datur?

Qualche notte fa dopo una cena a base di insalata di farro annaffiata da un paio di bicchieri di Regaleali me ne sono andato a letto con un certa sensazione di completezza e soddisfazione. In piena notte vengo però svegliato dall'impressione di un lamento profondo. In piedi accanto al mio letto scorgo una tenebrosa figura antropomorfa. Mi pietrifico all'istante. Dalla figura proviene una voce: quasi un infrasuono.
B: (rabbioso tormentato) Perché non vuole ammetterlo!! L'intuzione e la costruzione sono alla base di tutto!
Eppure in gioventù lo ammiravo così tanto.... E anche lui mi stimava molto.
D: (ripresosi dal trauma riesce timidamente a profferire parola) Scusi, ma lei chi è?
B: (austero e marziale) Molto lieto! Luitzen Egbertus Jan Brouwer. Ma lei può chiamarmi semplicemente professor Brouwer.
D: (reverenziale un po' più animato) E di chi sta parlando professor Brouwer?
B: (spazientito) Come di chi!? Ma del professor David Hilbert naturalmente.

Una seconda figura si materializza nella stanza.

H: (con voce tuonante) Ho sentito pronunziare il mio nome!
B: (con enfasi accigliata) Stavo per l'appunto cercando di dire che la nostra aspirazione deve essere la ricerca della verità, non un arido formalismo alieno da essa.
H: (con sufficienza?) Ma con il mio formalismo saremo in grado di svelare e rivelare la verità in modo automatico e univoco. Potremmo anche giungere ad un punto in cui le presenza umana sarà superflua nel processo di disvelamento delle verità ignote.
B: (categorico) Ma voi, caro Hilbert, partite da premesse sbagliate! Per dimostrare l'esistenza di un oggetto io dovrò mostrare quell'oggetto o almeno mostrare di saperlo costruire.
H: (contraddittoriamente) No! Non è affatto vero! La costruzione appesantisce e complica inutilmente le cose. Brevità ed economia di pensiero! Sono queste le ragioni d'essere delle dimostrazioni d'esistenza. L'oggetto o esiste o non esiste. Tertium non datur! E se assumendo la sua non esistenza giungo ad una contraddizione allora vorrà dire che l'oggetto dovrà necessariamente esistere!
B: (quasi con soddisfazione) Ed ecco che abbiamo introdotto anche le più fallaci tra le vostre assunzioni: le dimostrazioni per assurdo e peggio ancora il principio del Terzo escluso. L'accettazione acritica di tali strumenti solo perché riconducibili a Pitagora e Aristotele è inammissibile!
H: (con scoraggiato scherno) Ma proibire ad un matematico l'uso del principio del terzo escluso sarebbe come proibire a un pugile di usare i pugni o proibire ad un astronomo di usare il telescopio. 
B: (in un crescendo di impeto) La matematica non è un giochino enigmistico privo di significato! I suoi oggetti non sono scorrelati dalla realtà!! Le sue regole formali non possono prescindere dall'intuito!!! La scelta dei suoi assiomi deve essere guidata dall'esperienza!!!!

Le figure svaniscono dissolvendosi lentamente.

Ma allora è vero che o l'Italia vincerà il mondiale del 2014 oppure l'Italia non vincerà il mondiale del 2014? O detto in termini simbolici, indicando con I la proposizione "l'Italia vincerà il mondiale del 2014", è vero che (I ∨ ¬I)?

Forse per il caso di questo enunciato la risposta è sì. (A patto che la profezia Maya non non si riveli nel frattempo valida, ma in tal caso potremmo dire che è vera ¬I, anche se probabilmente nessuno sarà in grado di verificarlo.) Nella matematica tuttavia esistono degli enunciati che non possono essere né provati né refutati, e cioè, approssimando un po', non può essere stabilito né che siano veri né che siano falsi, e sono per questo detti indecidibili. Esempi ne sono l'assioma della scelta e l'ipotesi del continuo, che sono entrambi indecidibili nell'assiomatizzazione tradizionale della teoria degli insiemi.

Il mio dialogo immaginario tra Brouwer e Hilbert è ispirato ad una reale controversia tra i due matematici che va inquadrata tra le appassionanti discussioni relative ai fondamenti della matematica avvenute tra la fine dell'800 e i primi decenni del '900. In questo contesto le posizioni filosofiche che si contendevano il primato erano essenzialmente tre: quella logicista con Frege e Russell; quella formalista con Hilbert; e infine quella costruttivista con Poincaré e Weyl, all'interno della quale si posizionava la corrente radicale degli intuizionisti con Brouwer. I logicisti volevano rifondare la matematica a partire dalla Logica, i formalisti volevan formalizzare la matemitica entro un sistema assimoatico capace di dimostrare o refutare un qualsiasi enunciato, mentre i costruttivisti affermavano la necessità di trovare o di costruire un oggetto matematico per poterne dimostrare l'esistenza rifiutando le dimostrazioni per assurdo soprattutto nei casi che coinvolgono l'infinito; infine l'intuizionismo di Brouwer si spingeva oltre il costruttivismo rifiutando più in generale le dimostrazioni che implicano l'utilizzo di insiemi infiniti e l'applicazione in questi casi dei ragionamenti basati sul principio del terzo escluso.

In seguito un allievo di Brouwer, Arend Heyting, sviluppò l'intuizionismo come un vero e proprio sistema formale: la Logica Intuizionista. Ma questo lo vedremo nell'appendice.

12 commenti:

paopasc ha detto...

Io proporrei una quarta via (a proposito di tertium): il polpo paul.
Il polpo paul, con sfuggente e incomprensibile ma a suo modo ferrea logica ha dimostrato di poter predire "scientificamente" il vincitore di una competizione.
Purtroppo però non vuole o non sa spiegarci il metodo da lui utilizzato. propongo quindi di studiarlo attentamente per apprederne il segreto. I tedeschi hanno già cominciato, con il famosissimo sistema del 'polpo alla marinara', un metodo di ricerca definito, a volte, infallibile.

Brunhilde ha detto...

Sì, è vero! Concordo anch'io sul Polpo Paul!! :-)

ziomassimo ha detto...

Data la mia "allergia" alle scienze matematiche, penso che non avrei mai letto questo lungo post se non fossi stato adescato dalla sirena del calcio. Tuttavia, anche se in effetti è molto interessante, ti consiglio di andarci più leggero la sera con l'insalata di farro e il Regaleali!

dioniso ha detto...

Benvenuto paopasc,
quindi tu ti spingeresti anche oltre i logicisti e i formalisti affermando che non solo tertium non datur ma anche quartum non datur :-)
Ho sentito che il polpetto si sia espresso di nuovo a favore della Spagna. Non so però che abbia detto stavolta della Germania. Lo stanno sperimentando per la prima volta su partite extrateutoniche. Se azzeccherà (per parafrasare Di Pietro) anche questa sarà la prova scientifica definitiva ;-) Comunque abbiamo delle fonti contraddittorie. Per quanto ne so io il sistema utilizzato per studiarlo dovrebbe essere quello del 'polpo con le patate', molto più vicino alle competenze scientifiche germaniche.

Interessante il tuo blog. Più tardi (o forse domani, visto che tra un po' dovrò andare a suonare) mi leggerò il tuo post sulla subitizzazione. Il concetto mi aveva affascinato molto durante la lettura di “Where Mathematics Comes From”. Lo conosci? Ne avevo scritto qualcosa qui.

Ciao Brunhilde, sì, va bene, concordi, ma dovresti anche esprimere una tua preferenza. Secondo te è più appropriato il metodo 'polpo con le patate' oppure il metodo 'polpo alla marinara'? :-)

Ciao ziomassimo, quindi il trucchetto funziona! Devo usarlo più spesso :-)
Ma come mi consigli di andarci più leggero la sera con l'insalata di farro e il Regaleali! Vuoi reprimere la mia creatività onirica!?

paopasc ha detto...

In effetti esistono due scuole di pensiero, e anche la tua, devo dire, ha grossi estimatori. In questi casi, per non far torto a nessuno, si usa la doppia portata, datosi che, in definitiva, o alla marinara o con le patate, è sempre l'ingrediente principale quello che conta, la terzietà o la quartietà dell'approccio logico.
Esistono parecchi lavori sull'origine della numerazione e della matematica, e adesso vado a leggere il tuo 'qui'.
Ricambio il complimento (era un complimento, vero?)

dioniso ha detto...

E certo che era un complimento vero. Voglio dire. Non è che ho fatto l'analisi esegetica comparata del tuo blog. Però un blog che appena aperto mi offre subito una riflessione sulla subitizzazione già mi piace.

Moky ha detto...

... ..... .....
Prima di commentare, ho dovuto andare a spegnere lo smoke detector, tant'era il fumo che usciva dal mio povero cervellino!
Lascio a voialtri geniacci la discussione sulla logica, mi interessa invece l'insalata al farro, di cui mi piacerebbe la ricetta, se non comporta prodotti animali!!

Per quanto riguarda l'Italia e i campionati del '14... speriamo che si qualifichi!! (no, non porto sfiga come Jagger...)

dioniso ha detto...

ahahah!
Ciao Moky!
Guarda, il link alla ricetta sta direttamente nel post. Te lo copio anche qui:
insalata di farro

In realtà in questa versione c'è il tonno. Essendo però la ricetta una mia creazione raggiunta attraverso la sperimentazione di diversi ingredienti, potresti continuare tu la sperimentazione con una sostituzione che mi ero già ripromesso di sperimentare ma che non ho ancora fatto. E cioè la sostituzione del tonno con la mozzarella. Zucchero mi dice che secondo lei sarebbe meno buona. Però tentar non nuoce.
Di recente quella classica l'ho preparata qui ed ha avuto un discreto successo.

Un altro piatto totalmente vegetariano e molto gustoso nonché adatto a questo periodo è questa pasta fredda

Moky ha detto...

Grazie per tutte le ricette, le provero' (ptima o poi) ma dovro' veganizzarle, visto che siamo vegan!! Niente mozzarella per noi!! Certo che la combinazione pomodorini/capperi/olive/basilico e altre spezie e' vincente! E l'aggiunta del farro, grano eccezionale, la rende ancora piu' sana!

dioniso ha detto...

Sì, dopo aver scritto mi sono ricordato che sei vegana. Ma aderisce proprio tutta la famigliaß

dioniso ha detto...

ß=? (tastiera tedesca)

Moky ha detto...

J, Violet ed io siamo vegan al 100%. Gli altri 3 pargoli ogni tanto mangiano il formaggio sulla pizza o pasta (se siamo fuori casa).