Nell'appendice numero uno dicevamo che tra le principali differenze della Logica intuizionista rispetto alla Logica classica c'è sia la
non validità del principio del terzo escluso che la
non validità dell'equivalenza tra affermazione e doppia negazione (I ↔ ¬¬I).
Usando quindi gli strumenti della Logica intuizionista,
non sì potrà ad esempio dedurre la profezia Italia '14 (P="o l'Italia vincerà il mondiale del 2014 oppure l'Italia non vincerà il mondiale del 2014").
Inoltre, usando l'intuito, molti di voi probabilmente direbbero che affermare che l'Italia vincerà il mondiale del 2014 è equivalente a dire che
non è vero che l'Italia
non vincerà il mondiale del 2014.
O detto in termini simbolici:
I ↔ ¬¬I
Invece nella Logica intuizionista, dal fatto che l'Italia vincerà il mondiale del 2014 si potrà sì dedurre che
non è vero che l'Italia
non vincerà il mondiale del 2014 (
I → ¬¬I ), ma non vale il viceversa. Cioè dal fatto che
non è vero che l'Italia
non vincerà il mondiale del 2014
non si potrà dedurre che l'Italia vincerà il mondiale del 2014 (¬¬I → I).
A questo punto risulta sicuramente interessante vedere molto brevemente qualche cenno di
semantica per la Logica intuizionista. È infatti grazie ad essa che possono essere verificate le suddette affermazioni.
Il primo a fornire una semantica per la Logica intuizionista fu
Heyting, un allievo di
Brouwer.
In modo simile alla semantica per la Logica proposizionale classica, in cui l'
algebra booleana viene usata per stabilire se una formula sia vera o falsa, Heyting pensò di introdurre un nuovo tipo di algebra, chiamata in seguito
algebra di Heyting, per stabilire se una formula sia vera o falsa nell'ambito della Logica intuizionista.
La Logica proposizionale classica, come la maggior parte dei sistemi di Logica matematica, è costituita da
una parte sintattica ed una parte semantica.La
parte sintattica è quella che si occupa di definire la corretta struttura delle formule; e nella quale si include di solito anche l'apparato deduttivo che definisce gli
assiomi e le regole che consentono di dedurre i
teoremi a partire dagli assiomi.
Mentre la
parte semantica, che risulta di solito più semplice ed intuitiva, è quella che si occupa di definire il significato dei simboli.
Per definire una semantica della Logica proposizionale classica si può partire ad esempio da
una funzione di valutazione che va dall'insieme
L delle formule all'insieme {
V,
F} (vero, falso). O detto in termini più semplici,
si definisce un meccanismo per determinare in quali casi una formula sia vera o falsa. La funzione la si definisce nel seguente modo:
- v : L → {V,F}
tale che per ogni coppia di formule
A e
B valgano le seguenti condizioni (
sse sta per
se e solo se):
- v(¬A) = V sse v(A) = F (¬A è vera sse A è falsa)
- v(¬A) = F sse v(A) = V (¬A è falsa sse A è vera)
- v(A∧B) = V sse v(A) = V e v(B) = V (A∧B è vera sse A è vera e B è vera)
- v(A∨B) = V sse v(A) = V oppure v(B) = V (A∨B è vera sse A è vera oppure B è vera)
- v(A→B) = V sse v(A) = F oppure v(B) = V (A→B è vera sse A è falsa oppure B è vera)
Ciò che
collega la sintassi con la semantica sono i
teoremi di completezza, il cui scopo è dimostrare l'
equivalenza tra il concetto di
dimostrabilità sintattica ed il concetto di
verità semantica. Nel caso particolare della Logica classica (sia proposizionale che predicativa) interviene il
Teorema di completezza di Gödel (da non confondere con il
Teoremi di incompletezza di Gödel) ad asserire che una formula è dimostrabile sse è vera per ogni funzione di valutazione.
Similmente, anche nel caso della Logica proposizionale intuzionista si può definire una funzione di valutazione, ma di tipo un po' diverso. Invece di essere correlata ad un'algebra booleana la funzione di valutazione della Logica proposizionale intuzionista è correlata ad un'algebra di Heyting.
Ad esempio si può definire la
funzione di valutazione che va dall'insieme
L delle formule all'insieme dei sottinsiemi
aperti della
retta reale:
- v : L → {int(S) : S ⊆ R} dove int(S) è la parte interna di S
tale che per ogni coppia di formule
A e
B valgano le seguenti condizioni:
- v(A) = int(v(A))
- v(¬A) = int(v(A)C) dove XC è il complemento di X
- v(A∧B) = v(A) ∩ v(B)
- v(A∨B) = v(A) ∪ v(B)
- v(A→B) = int(v(A)C ∪ v(B))
Anche in questo caso intervengono teoremi di completezza a dirci che le formule dimostrabili della Logica intuzionista coincidono con quelle valide e che queste ultime sono esattamente quelle per cui
v(
A) =
R per ogni scelta di
v. Cioè quelle a cui la funzione di valutazione associa l'insieme più grande: tutta la retta reale.
Grazie a questi teoremi si può facilmente verificare che
la formula ¬(A ∧ ¬A) è valida. Il fatto che questa formula risulti valida è un
requisito minimale affinché un sistema di Logica matematica possa destare qualche interesse. Se essa risultasse non valida infatti esisterebbero delle
A per cui il sistema potrebbe dimostrare sia
A che ¬
A.
Il sistema risulterebbe quindi contraddittorio.
La validità di ¬(
A ∧ ¬
A) si può dimostrare in quanto
ponendo v(A) = X, indipendentemente dall'insieme
X che viene scelto come valore della formula
A, il valore di ¬(
A ∧ ¬
A) sarà sempre uguale all'intera retta reale
R. Infatti
- v(¬(A ∧ ¬A)) =
- int((v(A ∧ ¬A))C) =
- int((v(A) ∩ v(¬A))C) =
- int((X ∩ int((v(A))C))C) =
- int((X ∩ int(XC))C) =
- (Siccome int(XC) è un sottinsieme di XC allora
- X ∩ int(XC) = ∅)
- int((∅)C)=int(R)=R
Invece si può facilmente mostrare che
il principio del terzo escluso (A ∨ ¬A) non è valido. A tal scopo è sufficiente trovare una particolare funzione di valutazione
v per cui risulti
v(
A ∨ ¬
A) ≠
R.
Basta scegliere
v(
A) = {
x ∈
R :
x > 0 }. Si avrà infatti:
- v((A ∨ ¬A)) =
- v(A) ∪ v(¬A) =
- v(A) ∪ int(v(A)C) =
- {x ∈ R : x > 0 } ∪ int({x ∈ R : x ≤ 0 }) =
- {x ∈ R : x > 0 } ∪ {x ∈ R : x < 0 }) =
- {x ∈ R : x ≠ 0 } ≠ R che è ciò che si voleva dimostrare
Potremo quindi finalmente concludere che
usando gli strumenti della Logica intuizionista, non sì può dedurre la profezia Italia '14.
Ho anche provato a dimostrare che nella Logica intuizionista vale (
I → ¬¬I), ma non vale il viceversa
(¬¬I → I). Per chi fosse interessato può dare uno sguardo a
questo mio tentativo di dimostrazione.
Boyer, nella sua opera, "Storia della matematica", propone il 1436 d.C. - anno probabile della morte di al-Kashi, ultimo grande matematico islamico - come data di fine del periodo medievale per la storia della Matematica.
Conoscevo già il suo nome quasi impronunciabile: Glühwürmchen (letteralmente vermicello ardente, espressione che alle orecchie di un romano potrebbe risultare un po' ambigua). Ritenevo tuttavia che l'esistenza dell'animaletto in queste lande teutoniche fosse confinata ai libri di fiabe.
Marcello Foa, durante la rassegna stampa di Radio Tre di oggi, ha letto un articolo che citava una ricerca di un'università del Nuovo Messico che avrebbe stilato una classifica di QI medio per paese. Pare che questa classifica vedrebbe l'Italia al primo posto in Europa e al quinto posto nel Mondo dopo quattro paesi asiatici.
Il compianto grande astronomo di fama internazionale ed eccellente divulgatore scientifico Carl Sagan ha dedicato tutta la vita per diffondere il pensiero critico e fornire gli strumenti più efficaci che ci possano difendere dalle cosiddette bufale giornalistiche, notizie apparentemente camuffate da affermazioni scientifiche che di scientifico hanno ben poco.
Nell'appendice numero uno dicevamo che tra le principali differenze della Logica intuizionista rispetto alla Logica classica c'è sia la non validità del principio del terzo escluso che la non validità dell'equivalenza tra affermazione e doppia negazione (I ↔ ¬¬I).
Sprezzanti del pericolo, 
