Dialogo sulle narrazioni pitagoriche

Di recente Paolo Alessandrini mi ha coinvolto in una conversazione con l’insegnante di fisica Cristina Sbarra.
La sua domanda riguardava alcuni aspetti relativi alle narrazioni ispirate alla scuola pitagorica e alla figura di Pitagora. Di seguito, riporto la mia risposta.

Premessa su Pitagora

Dal punto di vista strettamente storico, sulla figura di Pitagora abbiamo pochissime certezze. Pitagora non scriveva o, perlomeno, non ci è pervenuta alcuna testimonianza scritta dai pitagorici del VI sec a.C. Le testimonianze più articolate su Pitagora che ci sono pervenute (come quelle di Giamblico, Porfirio o Diogene Laerzio) risalgono a molti secoli dopo la sua morte. A questo proposito, ti segnalo un lavoro fondamentale dello storico della scienza americano Alberto A. Martínez, The Cult of Pythagoras: Math and Myths, in cui viene riassunto con grande rigore ciò che è storicamente documentato e ciò che appartiene al mito. Solo per farti un esempio, ho copiato qui una tabella dal suo libro che mostra l’evoluzione della narrazione intorno al teorema di Pitagora.

La certezza storica riguarda soprattutto l’esistenza della scuola pitagorica, ma si hanno dubbi persino sull’esistenza dell’uomo Pitagora. Anche se a me verrebbe da pensare: è possibile che qualcuno abbia costruito artificialmente questo caposcuola?

Questa premessa potrebbe far pensare che io sostenga l’impossibilità di scrivere storie su Pitagora. Ovviamente non è così. Io stesso ho scritto una narrazione ispirata alla scuola dei pitagorici in cui compare lo stesso Pitagora insieme al suo migliore allievo, Ippaso. Per questo tipo di narrazioni, la tradizione, pur con tutte le sue stratificazioni leggendarie, è una miniera d'oro.

Quando ho scritto Il mistero del suono senza numero, mi sono basato proprio sui racconti della tradizione, cercando però di rielaborarli in modo da renderli coerenti con la realtà storica, scientifica e acustica.

Un esempio è la celebre leggenda di Pitagora che scopre i rapporti armonici mentre camminava vicino alla fucina di un fabbro. È probabile che la scoperta sia avvenuta davvero in quel modo? Credo di no. Ma ciò implica che la leggenda non possa essere usata in una narrazione che miri alla verosimiglianza? Non necessariamente. Il compito del narratore che miri alla verosimiglianza dovrebbe essere quello di filtrare la tradizione attraverso coerenza storico-scientifica.

Nella scena della fucina, la tradizione tramanda che l'altezza dei suoni dipendesse dal peso dei martelli. Tuttavia, se analizziamo l’affermazione da un punto di vista acustico, ci rendiamo conto che il suono emesso non può dipendere dalle dimensioni del martello: le vibrazioni della testa del martello vengono smorzate quasi istantaneamente dal manico e dalla mano. Il suono che percepiamo è, invece, prodotto dalla vibrazione dell'incudine! E la dimensione del martello non può influire sulla frequenza (l'altezza della nota). Semmai influisce sull'ampiezza dell'onda (cioè sul volume). Altrimenti sarebbe come come sostenere che l'altezza delle note di un pianoforte dipenda dalla stazza dei martelletti anziché dalla lunghezza e tensione delle corde.

Così nella mia narrazione ho scelto di rispettare la storia della tradizione ma correggendone la fisica: ho inserito quindi una scena in cui Pitagora conduce esperimenti con i suoi discepoli, in cui dimostra che la consonanza o dissonanza tra i suoni dipende dalla dimensione delle incudini e smentisce l'ipotesi (errata) dello scolaro secondo cui l'altezza dipenderebbe dal martello.

In sintesi, credo che il presupposto per una buona narrazione su Pitagora sia: prendere spunto dalla tradizione, ma filtrarla attraverso la verosimiglianza storico-scientifica. Inoltre, potrebbe essere molto utile aggiungere in prefazione o postfazione una nota che chiarisca al lettore il confine tra storia, leggenda e finzione narrativa.

Dopo l'uscita del libro nel 2017 ho continuato la ricerca e svolto diversi incontri nelle scuole in cui coinvolgo i ragazzi in esperimenti matematico-musicali attraverso la misura delle corde. Certamente, con le conoscenze acquisite in seguito, oggi modificherei alcuni passaggi del libro, ma nella narrativa occorre accettare un compromesso: la ricerca della coerenza storica assoluta rischierebbe di paralizzare la scrittura.

Se ti interessa approfondire, ti lascio il link a un mio articolo pubblicato sulla rivista Archimede, I PITAGORICI E IL MISTERO DEL SUONO SENZA NUMERO Pitagora e la musica dell’universo, dove sviluppo alcuni delle considerazioni precedenti, riporto indicazioni bibliografiche per approfondire ulteriormente e, alla fine descrivo pure un po’ dettagliatamente il tipo di lezione che posso organizzare nelle scuole.

Ho trattato argomenti simili anche sul mio blog Pitagora e dintorni ma in modo un po’ più giocoso e meno rigoroso. In particolare, questa è la lista di articoli in cui compare, anche marginalmente, Pitagora

Domanda sul comma pitagorico e su come narrare la sua scoperta:

La tua intuizione narrativa è molto interessante. Ecco alcune mie considerazioni basate sulle mie limitate competenze storico-matematico-musicali.

1. L'orecchio umano e la discrepanza - Il comma pitagorico equivale a circa un quarto di semitono (23,46 cent). Visto che un orecchio umano allenato dovrebbe riuscire a percepire variazioni di circa 10 cent, due note a questa distanza suonate contemporaneamente vengono sicuramente percepite come una stonatura. Sicuramente generano i famigerati battimenti (da trombonisti lo sappiamo bene!😊). La percezione è invece più difficile se i suoni sono ascoltati in successione temporale o peggio ancora, se si confrontano a distanza due intere scale (pitagorica e temperata). Per percepire una differenza in quei casi serve davvero un orecchio molto sensibile e allenato.

2. Il limite del monocordo e la genesi della scoperta - Sul monocordo, riportare 12 quinte pure (3/2) per confrontarle con 7 ottave (2/1) mediante la sola divisione della corda presenta un grande limite fisico: l'errore di misurazione manuale accumulato in 12 passaggi finirebbe per coprire il comma stesso.
Per questo sono abbastanza convinto che la scoperta sia nata prima di tutto da considerazioni teorico-numeriche:

• L'ipotesi: I pitagorici cercavano la "chiusura del cerchio", sperando che un numero n di quinte pure coincidesse con un numero m di ottave.
• La prova aritmetica: Come hai giustamente notato, tali interi n e m non esistono. Se si procede salendo di 12 quinte e scendendo di 7 ottave, ci si scontra con il fatto che 3^12 ≠ 2^19. Se i pitagorici avessero conosciuto il teorema fondamentale dell'aritmetica, non avrebbero nemmeno dovuto fare i calcoli! 🙂
• La verifica acustica: Il tentativo di riportare questi numeri sul monocordo serve da conferma, ma sconta sempre l'imprecisione della misura pratica.

3. Il difetto meccanico e il nodo della voce umana - L'idea che Pitagora ipotizzi inizialmente un difetto dello strumento (il ponte mobile posizionato male, difetti della corda, ecc.) e ricostruisca il monocordo più volte è una buona intuizione narrativa: rappresenta perfettamente la resistenza dello scienziato di fronte a un fatto controintutivo.

Sulla voce umana, invece, nutro qualche dubbio che possa servire da controprova di precisione:

• Una voce esercitata tende naturalmente verso gli intervalli puri e corregge inconsciamente i micro-difetti di intonazione.
• Se anche si facesse cantare al cantore il giro delle 12 quinte (riabbassando di volta in volta la nota nell'ottava comoda per non uscire dal registro vocale), l'instabilità fisiologica della voce (pressione dell'aria, vibrato, affaticamento) accumulerebbe un errore nettamente superiore ai 23 centesimi del comma, mascherando il dato matematico.

In conclusione: Credo sia storicamente e scientificamente più plausibile che i Pitagorici si siano accorti della "non chiusura" della scala attraverso l'aritmetica, per poi scontrarsi con i limiti della materia nel cercare di riprodurlo sul monocordo.

Possibili alternative per proseguire la narrazione: dopo la scoperta attraverso considerazioni teorico-numeriche, potresti inserire una diatriba tra chi è sicuro della discrepanza, vista la supposta superiorità dei numeri sulla realtà stessa, e chi, invece, ipotizza un errore, magari nei calcoli numerici. Quindi organizzano comunque una prova per verificare, dove le due fazioni si scontrano e fanno il tifo. Dopo le prime difficoltà di misurazione e di intonazione, riprovano, affinando il più possibile gli strumenti di misura e andando a ricercare uno di quei rari cantori dotati della facoltà dell’orecchio assoluto. A quel punto forse si potrebbe ipotizzare la verosimiglianza degli eventi. E avresti pure inserito una certa tensione narrativa aggiuntiva.
La conclusione potrebbe essere:

• o che si rendono conto delle difficoltà nel creare un esperimento affidabile e continuano ad affidarsi alla sola teoria;
• oppure confermano la discrepanza attraverso qualcosa di simile:

• Non usano la voce per misurare il comma, ma per verificare l'effetto acustico della stonatura. Cioè:
• Pitagora accorda due corde sul monocordo: una di riferimento e l'altra ottenuta dalla prima dopo le 12 quinte verso l’alto e le 7 ottave verso il basso (3^12/2^19).
  (Sale di una quinta, con una corda di lunghezza 2/3 e, se la nota supera l'estensione dell'ottava di partenza, scende di un'ottava con una corda di lunghezza doppia)
• Poi chiede al cantore dotato di orecchio assoluto di intonare un unisono con la prima corda e poi di cantare insieme alla seconda corda.
• Il cantore proverà una sensazione fisica di disagio. Oppure, se canterà sull’intonazione delle prima corda mentre Pitagora pizzica la seconda, percepirà i battimenti (il tipico sfarfallio acustico della stonatura) e cercherà istintivamente di sforzare la laringe per adattare la nota e raggiungere la consonanza.

Il prezzo umano del suicidio fascista

I brani della lettera, copiati di seguito, che Benito Mussolini inviò ad Adolf Hitler il 25 agosto 1939, mostrano un fatto spesso dimenticato: non solo i suoi generali, ma anche Mussolini sapeva perfettamente che l’esercito italiano non era pronto alla guerra contro Francia e Gran Bretagna.

Pochi mesi dopo, però, Mussolini cambiò idea: i tedeschi stavano sbaragliando le truppe anglo francesi e lui deve aver pensato che la morte di qualche migliaio di italiani sarebbe stata risarcita con cospicue conquiste territoriali.
Il risultato fu:

– una guerra persa
– territori persi
– colonie perse
– oltre 300.000 militari italiani morti
– più di 150.000 civili italiani uccisi
– il paese umiliato e relegato a ruolo di satellite

A prescindere da tutto il resto, basterebbero questi fatti per consegnare Benito Mussolini alla storia come il peggiore statista che l’Italia abbia mai avuto.
Eppure, ancora oggi qualcuno continua a osannarlo in nome di un presunto patriottismo.

“Führer, rispondo alla Vostra lettera che mi è stata consegnata in questo momento dall’Ambasciatore Mackensen.
…
4) Per quanto concerne la Polonia, io ho la perfetta comprensione della posizione germanica e del fatto che una situazione così tesa non può durare all’infinito.
5) Per quanto riguarda l’atteggiamento pratico dell’Italia, nel caso di un’azione militare, il mio punto di vista è il seguente:
–Se la Germania attacca la Polonia e il conflitto rimane localizzato, l’Italia darà alla Germania ogni forma di aiuto politico, economico che le verrà richiesto.
–Se la Germania attacca la Polonia e gli Alleati contrattaccano la Germania, Vi prospetto l’opportunità di non assumere io l’iniziativa di operazioni belliche date le attuali condizioni della preparazione militare italiana ripetutamente e tempestivamente segnalate a Voi, Führer, e a von Ribbentrop. Il nostro intervento può tuttavia essere immediato se la Germania ci darà subito i mezzi bellici e le materie prime per sostenere l’urto che i franco-inglesi dirigeranno prevalentemente contro di noi …”

Il mio testo teatrale "Muia e i Pitagorici" torna in scena a Torino

Dopo le edizioni del 2016 e del 2018, il mio testo teatrale "Muia e i Pitagorici", tratto da “Il mistero del suono senza numero”, tornerà in scena il 29 maggio a Torino, presso il Dipartimento di Chimica - Università di Torino - Via Giuria, 7 Torino, a cura di Teatro e Scienza.

Descrizione dello spattacolo

"Dal libro “Il mistero del suono senza numero” di Flavio Ubaldini si dipana un racconto che spazia dalla scuola dei Pitagorici fino ai giorni nostri. Ippaso, il più dotato tra i seguaci di Pitagora, ma anche il più ribelle e arrogante, ha un amore segreto: Muia, la figlia di Pitagora. Rispondendo a una domanda di lei, fa una scoperta che lo metterà in pericolo: la non esistenza di una frazione che rappresenti la diagonale del quadrato di lato 1. Solo dopo molti secoli, con la scoperta del “Taglio di Dedekind” si risolverà la questione.

Spettacolo di Flavio Ubaldini, con Maria Rosa Menzio, Margherita Premoli e Laura Riviera; Mimi: Marco Dalponte, Patrizia Genesi, Roberto Mandosso e Susanna Patroncini; Canto: Marco Dalponte e Simonetta Sola; Scenografia Virtuale: Nikolinka Nikolova; Tecnica: Fulvio Cavallucci; Assistente alla regia: Susanna Patroncini; Regia: Maria Rosa Menzio."

Settimane della Scienza 2025

In viaggio con Barbero - Democrazia e dittatura

Consiglio a tutti di vedere la putata In viaggio con Barbero - Democrazia e dittatura (la7.it).

Ascoltando la sua lezione sul concetto di democrazia mi sono reso conto di quante fossero le mie lacune e i miei pregiudizi su quel tema. 

Ecco alcune delle mie lacune o convinzioni sfatate

Barbero mi ha fatto capire che forse oggi definiremmo la tanto idolatrata democrazia ateniese come una dittatura della maggioranza. Ben distante dalle nostre democrazie costituzionali che impongono alla maggioranza di muoversi entro certi limiti ben definiti.

Lo si trova tra il minuto 29 e il minuto 35.

Anche l'amministrazione della giustizia nella democrazia ateniese era gestita dal popolo, attraverso una giuria sorteggiata. Ad esempio per il processo a Socrate 501 cittadini sorteggiati votano a maggioranza per la condanna a morte del filosofo.

Lo si trova tra il minuto 37 e il minuto 39.

Ho scoperto anche che subito dopo la rivoluzione americana gli Stati Uniti d'America non erano una democrazia bensì un'oligarchia. John Adams, padre fondatore e secondo presidente degli Stati Uniti scrive:

"La democrazia, finché dura, è più sanguinaria di un'aristocrazia o di una monarchia. Ricordatevi che una democrazia non dura mai a lungo. Si corrompe, si esaurisce, si suicida. Non c'è mai stata una democrazia che non si sia suicidata"

Sostanzialmente gli Stati Uniti diventano una democrazia solo dopo la guerra di secessione.

Lo si trova tra 1h 11m e il minuto 1h 13m.

Il mistero del suono senza numero - "in superficie è una storia semplice e ricca di mistero, in profondità nasconde l’essenza della matematica"

Daniela Molinari, insegnante di matematica e fisica presso un Liceo Scientifico ha scritto una recensione del Il mistero del suono senza numero. 

Qui riporto solo un piccolo estratto. Per la recensione completa: amolamatematica/il-mistero-del-suono-senza-numero

Il percorso è davvero interessante: in superficie è una storia semplice e ricca di mistero, ma in profondità nasconde l’essenza della matematica: mette in luce le caratteristiche della scuola pitagorica, il percorso della ricerca matematica dalla nascita di un’idea fino alla sua formalizzazione, ed evidenzia come le domande fondamentali si mostrino a volte come banali, ma possano mettere in crisi anche i saperi più antichi.

Le idee più profonde della matematica e della filosofia pitagorica sono trasmesse al lettore nel corso della storia e, permeando la vicenda, consentono un’assimilazione più efficace dei concetti difficili.

M. Gli ultimi giorni dell'Europa: opinioni che cambiano 2.

 Dopo M. Gli ultimi giorni dell'Europa: opinioni che cambiano?, altre opinioni che cambiano.

Naturalmente non esiste più una razza pura, nemmeno quella ebrea. Ma appunto da felici mescolanze deriva spesso forza e bellezza di una nazione. Razza: questo è sentimento, non una realtà; il 95% è sentimento… L’orgoglio nazionale non ha bisogno dei “deliri” di razza… In Italia l’antisemitismo non esiste.
Benito Mussolini in un colloquio con lo scrittore Emil Ludwig (nato Cohn), primavera del 1932

L’impressione che il Governo fascista sia in procinto di inaugurare una politica antisemita… è completamente errata… Il Governo fascista non ha mai pensato, né pensa di adottare misure politiche, economiche, morali contrarie agli ebrei in quanto tali… Il Governo fascista si riserva tuttavia di vigilare sull’attività degli ebrei venuti nel nostro Paese e di far sì che la parte degli ebrei nella vita complessiva della Nazione non risulti sproporzionata ai meriti intrinseci dei singoli e all’importanza numerica della loro comunità. Informazione diplomatica n. 14 (redatta da Benito Mussolini), 16 febbraio 1938

Ma qualche mese dopo...

M. Gli ultimi giorni dell'Europa: opinioni che cambiano?

È un pazzo! Un maniaco sessuale! 
Benito Mussolini al sottosegretario di Stato agli affari esteri Fulvio Suvich dopo il primo incontro con Adolf Hitler a Venezia, 15 giugno 1934 

Conosco Hitler. È un imbecille e un cialtrone, un cialtrone fanatico… Quando non vi sarà più alcuna traccia di Hitler gli ebrei saranno sempre un grande popolo… Voi e noi siamo una potenza storica. Quanto a Hitler, non è che una farsa destinata a durare qualche anno. Non temetelo e dite ai vostri ebrei che non bisogna avere paura… Noi gli sopravvivremo tutti.
Benito Mussolini a Nahum Goldmann, membro del direttivo dell’Organizzazione sionista mondiale in visita a Palazzo Venezia, novembre 1934

Ma qualche anno dopo...

Opinioni che cambiano o erronee valutazioni di convenienza?

Alessandro Barbero: la storia come caos di cose che si sovrappongono e si contraddicono

Riporto un'interessantissima considerazione di Alessandro Barbero sulla ricerca compulsiva delle cause degli eventi storici.

Barbero conclude affermando:
"La storia è esattamente come le nostre vite: un caos di cose che si sovrappongono, che si contraddicono, di casualità, di azioni altrui. Metterci ordine significa capire, ma significa anche falsificarle un pochino."

"Io, da storico, comincio ad averne abbastanza di questa nostra compulsione a cercare le cause delle cose. Perché tu ricostruisci degli avvenimenti ed è già tanto se riesci a capire come si sono svolti, che cosa è successo. E poi le persone vogliono sapere: perché? E i perché sono difficili da ricostruire e sono sempre provvisori. Ad esempio, nella discussione sulle cause della guerra civile americana si è detto che le cause fossero da ricercare nel fatto che si voleva abolire la schiavitù. Poi per trent’anni si è detto: no non è vero niente; sono gli Stati del sud che hanno un’economia in conflitto con quelli del Nord. Poi si torna a dire: no abbiamo capito che era davvero la schiavitù il problema.
Tutto questo è interessante perché è un esercizio continuo di scavo, di approfondimento e di argomentazione. Ma sono sempre operazioni un po’ artificiali perché mettono ordine nella realtà quando la realtà ordinata non è. La storia è esattamente come le nostre vite: un caos di cose che si sovrappongono, che si contraddicono, di casualità, di azioni altrui. Metterci ordine significa capire, ma significa anche falsificarle un pochino.
...
Quando un evento storico è accaduto, proprio per questa nostra compulsione di trovare le cause, ci precipitiamo alla ricerca dei segni premonitori e, regolarmente, li troviamo.
Io stesso ho scritto che la catastrofe di Adrianopoli è legata alla corruzione del sistema romano nel IV secolo. Ma il sistema romano di 300 anni prima era altrettanto corrotto e non è collassato per niente. Anzi ha conquistato il mondo. Quindi io sarei sempre prudente."

Il gatto Achille e la tartaruga Hermes (seconda parte)

Propongo la seconda parte del capitolo Il gatto Achille e la tartaruga Hermes, che fa parte del progetto descritto in Zenone, Achille, la tartaruga e… Pitagora

...
«Allora… Significa che il movimento è davvero un’illusione?», chiese Zenone.

«A meno che…», aggiunse Apollonia dopo averci riflettuto. «Il ragionamento sbagliato non sia proprio nella suddivisione dello spazio e del tempo».

«Ma se funziona nell’esperimento mentale perché non dovrebbe funzionare nella realtà?».

«Beh…», fece lei. «L’esperimento mentale funziona attraverso una divisione numerica che va avanti illimitatamente. Ora, io ho imparato dai pitagorici che i numeri aiutano a interpretare la realtà. Ma…», continuò la ragazza sempre più immersa nelle sue speculazioni, «c’è anche il precedente che citavo prima. Ippaso scoprì un oggetto a cui non corrisponde nessun numero. Scoprì una corda che non può essere misurata e che quindi emette un suono senza numero». Zenone la fissava ammirato. Nel frattempo avevano raggiunto la scuola e Zenone salutò degli allievi che ciondolavano davanti all’ingresso. Alcuni di loro guardarono la coppia con una certa curiosità. «Questo ci insegna che», riprese Apollonia ignorandoli, «sebbene i numeri siano un ottimo strumento per indagare la realtà, esistono aspetti di questa a cui non corrispondono numeri e, similmente, potrebbero esistere fenomeni immaginabili attraverso i numeri ma senza riscontro nel mondo reale».

«Vorresti dire che…».
«…che forse non si può andare avanti illimitatamente nella frammentazione dello spazio e del tempo. Se lo si può immaginare attraverso i numeri deve essere necessariamente vero anche nella realtà?».
«Uhm…», fece Zenone. «Quindi potrebbe esserci un limite? Un’unità elementare di spazio e un’unità elementare di tempo che non sarebbero divisibili ulteriormente?».
«Potrebbe essere così. Oppure una tale unità indivisibile potrebbe esistere solo per lo spazio o solo per il tempo».
«Hai un’intelligenza insuperabile!», fece Zenone col fiato corto mentre attraversavano uno spazio angusto tra due edifici. «No, mi correggo. La tua intelligenza è superata solo dalla tua bellezza».
«Smettila!», ridacchiò lei. «Non sono bella!».
«Lo sei!», protestò lui prendendola per mano. «E l’intelligenza ti rende ancora più bella», continuò avvicinandola a sé.

I due giovani si fissarono intensamente per alcuni istanti. Poi i volti cominciarono a cedere alla forza di attrazione reciproca. E il bacio li proiettò di nuovo in quel meraviglioso mondo parallelo in cui esistevano solo loro.

Zenone, Achille, la tartaruga e… Pitagora

“Pitagora fu nel corpo di Zenone di Elea e sotto quelle spoglie investigò il problema della quantità di nu­meri compresi tra due numeri dati. Una strada che lo con­dusse all’elaborazione di quattro paradossi e all’intuizione che la geometria e non il Numero governasse il mondo.”

Così si chiudeva “Il mistero del suono senza numero”. E così si apre il suo seguito a cui ho cominciato a lavorare e che spero veda la luce nel 2021.
La lievissima brezza del Tirreno riusciva appena a stemperare l’arsura dell’aria. Viste da quel tratto, a mezzacosta del promontorio, le due isolette Enotridi di Pontia e Isacia sembravano due strane creature marine pietrificate dal vigore della vampa. I caseggiati di Elea apparivano deserti: sia quello in basso vicino al litorale, sia quelli più in alto. Anche i lavori di edificazione dell’acropoli erano fermi. In quella stagione nessuno avrebbe voluto sfidare la potenza dell’astro nelle ore centrali del cammino celeste del carro di Elio… O quasi nessuno.

«Vai, Hermes! Vai!»
«Forza, Eracle! Puoi ancora recuperare!»

Le urla d’incitazione erano rivolte a una decina tartarughe impegnate in una gara di corsa. Un branco di ragazzini le circondava. Tutti grondavano sudore. Molti saltavano e sbraitavano. E qualcuno si manteneva in silenzio, esprimendo il coinvolgimento attraverso il movimento delle braccia o la contrazione di pugni e mascelle.

«Nooo, è di nuovo Hermes», piagnucolò Pitodoro saltellando. «Di nuovo Hermes! È di nuovo lui a vincere», continuò con un tono carico d’insofferenza che strideva con l’espressione gioiosa e sorridente del volto. Era il suo modo di rallegrarsi per la nuova vittoria della tartaruga del suo amico Zenone nella gara di corsa. Hermes era un fulmine! Quando riusciva a partire in vantaggio era irraggiungibile. Avrebbe potuto battere anche un ga…

«Attenzione! Achille in vista!», urlò improvvisamente un altro ragazzino da un dosso al limite dell’ombra della grande quercia che sovrastava la pista per le gare. Molti corsero immediatamente verso la pista. Ma nessuno ebbe il tempo di recuperare la propria tartaruga. Achille, per niente a disagio sotto il sole rovente, avanzò tra le stoppie come una furia; un istante prima che Hermes tagliasse il traguardo, irruppe nella pista e si mise a menar zampate, e a dispensare morsi e graffi ai carapaci nei quali le tartarughe si erano istantaneamente ritratte.

Al seguito di Achille comparve un ragazzino dalla corporatura massiccia che indossava un elmo e brandiva una spada: entrambi di legno. Come tutti gli altri indossava un leggerissimo chitoniskos, ma se lo era fatto disporre in modo che ricordasse la linothorax, l’armatura che i guerrieri achei indossavano nella guerra di Troia. Una linothorax piuttosto umidiccia. Le braccia e le gambe scoperte mostravano sbucciature nella parte inferiore degli avambracci e sulle ginocchia. «Salve, femminucce! Avete occupato di nuovo la nostra pista con quegli stupidi animali», sbraitò con fare aggressivo e tono di voce forzatamente rauco mentre dimenava la spada verso gli altri e con l’altra mano recuperava il suo gatto. Tutti tacquero pietrificati. Cleudoro era più grande di loro e molto prepotente. Nessuno si sarebbe azzardato ad affrontarlo. «Vieni, Achille. Non sporcarti le zampe con quegli… animali di terra. Noi abbiamo ascendenze celesti. Discendiamo da Ailuros, la dea Bastet dei sapienti Egizi», declamò con sguardo ispirato ripetendo probabilmente una frase ascoltata da qualche adulto. Poi mosse dei passi verso Zenone, che nel frattempo aveva recuperato la sua Hermès, e gli puntò la spada contro. «E so che tu», riprese inasprendo il tono della voce, «sei il capo di questa banda di mezze calzette.»

«Io non sono il capo di nessuno, Cleudoro. E questa non è solo la vostra pista», rispose Zenone con tono deciso. Non sembrava intimorito. Un soffio di vento caldo gli attraversò i capelli neri e andò a smuovere anche la zazzera castana di Cleudoro.
«Non chiamarmi Cleudoro! Non vedi che indosso il sacro elmo di Achille?!» strepitò il giovane mascherato avvicinando il volto a quello di Zenone.

L’afrore dell’alito rese Cleudoro ancora più repellente. Zenone non resistette all’impulso e gli sferrò uno spintone che lo fece capitombolare all'indietro. Cleudoro piombò di schiena su una zona del prato dai ciuffi d’erba molto radi. Il suo elmo rotolò di lato e terminò la sua corsa su un mucchietto di pietrisco. La spada andò, invece, a urtare una pietra sporgente.
Cleudoro si rialzò con il volto deformato da una smorfia di incredulo stupore. Due nuove sbucciature gli erano comparse sui gomiti. Recuperò la spada e si accorse che la lama si era scheggiata. E l’elmo presentava dei graffi. Lo stupore si trasformò in collera. Gli altri ragazzini assistevano alla scena pietrificati. Il silenzio era rotto solo dal frenetico frinire delle cicale.

«Zenone maledetto!», sbraitò Cleudoro. «Ti ammazzo!»
Ma prima che riuscisse a lanciarglisi addosso, la piccola Nika si frappose tra i due. Cleudoro le incespicò addosso sbilanciandosi in avanti. Per non finire di nuovo a terra fece scattare le braccia e, toccando il terreno con i palmi delle mani, cercò di spingersi in alto. Ci riuscì ma al costo di due nuove ferite.

«Vi ammazzo tuttiii!», urlò.
Era furioso. Ma successe qualcosa di ancor più inatteso. Apollonia, la ragazzina dai capelli rossi, prese il posto di Nika, che era rimasta a terra con il viso rigato di lacrime, e immediatamente altri ragazzini si munirono di pietre e le balzarono al fianco creando un muro davanti a Zenone.
Cleudoro sbarrò gli occhi, incredulo. Come un lupo che assista a una ribellione delle pecore. Serrò i pugni sui palmi sanguinanti. Gli occhi rossi. Il volto rosso, rabbioso e dolorante. Poi il furore sembrò attenuarsi. La tensione parve dissolversi. Forse aveva capito che non gli conveniva combattere.

«Zenoneee. Niiikaaaa», risuonò una voce in lontananza.
«Che c’è, mamma!», rispose Zenone infastidito mentre Filista si avvicinava risalendo la mezzacosta.
«Perché hai fatto venire qui tua sorella!?», strillò lei continuando ad avvicinarsi. «Oh, divina Hera. È caduta! Perché è lì a terra?! E sta piangendo!», proseguì dimenandosi.
«Non l’ho fatta venire io! È stata lei a seguirmi», protestò Zenone.
«Ma tu avresti dovuto impedirglielo!»
«Zenoncino, ascolta la mamma», fece Cleudoro. La collera sembrava essere svanita e aver fatto posto a un atteggiamento di scherno. «Prendi la sorellina e tornatene a casa». Poi un lampo di rabbia tornò ad attraversargli il volto. «Femminucce! Ecco chi siete!», sibilò posando gli occhi su Apollonia.

«E tu sei un vigliacco!» replicò lei, sostenendone lo sguardo. «Fai il lupo con noi e l’agnellino con i più grandi».
«Ma da quando maschi e femmine giocano insieme? Voi avete le vostre bambole di pezza, le vostre pentoline», disse Cleudoro sprezzante.
«Smettila di fare il prepotente, Cleudoro!», intervenne Pitodoro.

Nel frattempo la madre di Zenone aveva raggiunto l’ombra della grande quercia.
«E poi non voglio che frequenti ragazzi… più grandi di te», disse Filista guardando Cleudoro con sguardo torvo.
«Che cos’ha mio figlio che non va?», chiese con impeto la madre di Cleudoro, che nel frattempo era scesa dal quartiere alto e aveva raggiunto il prato della pista senza essere vista.
«Nessuno si è rivolto a vostro figlio», ribatté Filista voltandosi.
«E io invece penso che stavate parlando proprio di lui!», incalzò l’altra.
«Ma siete voi a pensare che tutti ce l’abbiano con la vostra famiglia. E comunque non è un mistero che vostro figlio sia un prepotente e un maleducato».

«Ma che maleducato e maleducato!», gridò la donna. «E poi mi pare che ci abbia rimesso lui», aggiunse guardando le nuove sbucciature del figlio. «La verità è che voi siete invidiosi perché abbiamo fatto fortuna commerciando con l’Egitto!».
«Noi non abbiamo mai invidiato le fortune altrui. Le vere ricchezze, per noi, sono altre».
«Eh, sì. Loro sono superiori! Sono intelligenti, istruiti. Non si abbassano a desiderare ciò che tutti desiderano».
«Zenone, Nika, andiamo!», ordinò Filista ignorando le provocazioni. Poi si allontanò scendendo verso il quartiere costiero preceduta dai figli, mentre l’altra continuava a sbraitarle dietro.
«Non è finita qui… Gliela farò pagare», sibilò Cleudoro fissando Zenone che si allontanava.

Un mio articolo sulla rivista Archimede: I pitagorici e il mistero del suono senza numero

È uscito il n. 1/2020 della rivista Archimede. Tra i vari interessantissimi articoli, questo numero contiene anche il mio I pitagorici e il mistero del suono senza numero  (scaricabile gratuitamente).

L'articolo contiene:

• una ricostruzione della vita di Pitagora e delle scoperte più importanti dei pitagorici basata sulle tarde fonti che ci sono pervenute;
• ipotesi su possibili percorsi usati per raggiungere tali scoperte;
• proposte per la realizzazione di una lezione-spettacolo nella scuola secondaria di primo e secondo grado.

Ecco il sommario del direttore Roberto Natalini:

“Questo numero di Archimede viene composto ed esce nel pieno di un’emergenza sanitaria mondiale senza precedenti. Ora più che mai crediamo che il buon insegnamento della matematica e la capacità di analisi quantitativa della realtà debbano essere al centro della nostra riflessione nella formazione e nella vita delle persone. Presentiamo comunque i nostri articoli, che speriamo possano essere utili ai docenti che ci leggono. Flavio Ubaldini ci parla di Pitagora e dei misteri intorno alla scoperta degli irrazionali (liberamente scaricabile). Giorgio Dall’Aglio, già professore di calcolo delle probabilità presso Sapienza Università di Roma, ci racconta come, in molte situazioni, lasciare scegliere al caso sia l’opzione migliore. Giovanni Canu e Carlo Andrea Pensavalle si occupano invece di una generalizzazione tridimensionale del rettangolo aureo. Nicola Marasciuolo analizza in dettaglio l’accelerazione di gravità, un argomento a cavallo tra fisica e matematica. La copertina e i disegni del fumetto sono di Andrea Scoppetta e sono dedicati al grande matematico tedesco David Hilbert, a cui è dedicata la breve storia scritta da Diego Cajelli.” E non dimentichiamo le soluzioni dei giochi di Archimede Enigmistica, apparsi nei numeri precedenti e la nuova rubrica “A colpo d’occhio” tenuta da Roberto Zanasi. Provate a guardare e commentare la sua ultima proposta.

La fortezza di Ecbatana

“La fortezza di Ecbatana è costituita da una serie di mura concentriche. Essa è studiata in modo tale che ogni giro di mura superi il precedente solo per l'altezza dei bastioni. ...

کاربر:Technoarya - wikimedia

In tutto le mura di cinta sono sette: l'ultima racchiude la reggia e i tesori; la più ampia si estende all'incirca quanto il perimetro di Atene. I bastioni del primo giro sono bianchi, quelli del secondo neri; sono rosso porpora al terzo, azzurri al quarto e rosso arancio al quinto; i bastioni delle prime cinque cerchie sono stati tinti con sostanze coloranti, invece le ultime due hanno bastioni rivestiti rispettivamente di argento e d'oro.”


Erodoto - Le storie

L'involuzione del pensiero di Mussolini: Il patto d'acciaio e le leggi razziste

Ecco le dichiarazioni di Mussolini a Emil Ludwig nei colloqui svoltisi nella primavera del 1932.

“Naturalmente", dice Mussolini, "non esiste una razza pura, nemmeno quella ebrea. Ma da felici mescolanze deriva spesso forza e bellezza a una nazione.
Razza: questo è un sentimento, non una realtà; il 95 % è sentimento. Non crederò mai che si possa provare biologicamente che una razza sia più o meno pura. Per combinazione, tutti quelli che proclamano nobile la razza germanica non sono germanici. Una cosa simile da noi non succederà mai. L'orgoglio nazionale non ha affatto bisogno dei deliri di razza»

Nella puntata di WIKIRADIO del 22/05/2019, IL PATTO D'ACCIAIO, Emilio Gentile racconta il funesto patto tre Hitler e Mussolini riportando anche l'opinione, non propriamente altissima, che il dittatore italiano aveva di quello tedesco, inizialmente considerato come un goffo emulo.

Il materiale citato nella puntata:

- Ciano annuncia la firma del Patto d'acciaio (22 maggio 1939) - Archivio Luce

- Incontro Mussolini Hitler a Venezia (1934)- Archivio Luce

- visita del Fuhrer in Italia (1938) - Archivio Luce

- Avanzata in Etiopia (aprile 1936) - Archivio Luce

- Patto Anticomintern (novembre 1937) - Archivio Luce

- Anschluss (1938) - Archivio Luce

- Albania (1939) - Archivio Luce

Il mistero del suono senza numero è il libro più venduto di Scienza Express al salone del libro di Torino

Ottime notizie dal salone del libro di Torino!

Visione prospettica tra antica Grecia e Rinascimento

Qualche anno fa avevo parlato della nascita della prospettiva e i suoi aspetti geometrici

Ora completo il quadro con una citazione da "Perché la cultura classica. La risposta di un non classicista" di Lucio Russo.

"Nonostante la convinzione di Piero della Francesca, nei secoli successivi, e in particolare in epoca illuministica, quando ci si convinse della superiorità dei moderni sugli antichi, fra gli storici dell’arte si diffuse la tesi (ancora ripetuta in qualche libro) che i greci non avessero conosciuto la prospettiva. In realtà non è più possibile dubitare dell’esistenza dell’antica prospettiva, poiché, oltre agli accenni più o meno vaghi di autori classici che erano sempre stati noti, oggi disponiamo di due tipi di documentazione: dipinti in cui le regole matematiche della prospettiva sono applicate in modo evidente, e brani di antichi trattati in cui si riportano in modo inequivocabile regole matematiche della prospettiva. Nella prima categoria è particolarmente importante l’affresco nella «stanza delle maschere», scoperto nel 1961 nella Casa di Augusto, sul Palatino. L’affresco nella «stanza delle maschere» nella Casa di Augusto, sul Palatino, dove tutti i segmenti che nella realtà sarebbero ortogonali alla parete di fondo, coerentemente alle regole della prospettiva, sono rappresentati convergenti esattamente in un punto."

La medaglia Fields e i numeri p-adici - seconda parte

– Allora, dicevamo che … non mi ricordo più…
– E certo! Dopo così tanto tempo! Avevamo concluso con la mia domanda. "Non è un po’ strana questa norma? Conta solo il fatto che il primo p fissato compaia o meno nella fattorizzazione del numero, e più l’esponente con cui p compare è grande più la norma è piccola. E comunque, abbiamo parlato di norma ma non mi hai ancora mostrato un esempio di numero p-adico."

– Ah, ecco. Allora, partiamo dagli interi p-adici e diciamo che una volta scelto un certo numero primo p preciso, un intero p-adico α è definito da una sequenza illimitata di interi x_k per k > 0
α = {x_k}^∞_k=1 = {x₁, x₂, x₃, . . . },
Tali che x_k+1 ≡ x_k (mod p^k) per ogni k > 0,    (1)
E due sequenze {x_k} e {y_k} determinano lo stesso intero p-adico se e solo se
x_k ≡ y_k (mod p^k) per ogni k > 0    (2)
L’insieme degli interi p-adici viene indicato con Z_p.
– Aspetta. Il segno ≡ è la congruenza, giusto?

– Sì. È definita come a ≡ b (mod n) se a − b è divisibile per n.

– Quindi dalla (2) deduco che esistono infinite sequenze che rappresentano lo stesso intero p-adico, giusto?

– Sì, giusto. Però possiamo pure introdurre una definizione che, sfruttando le relazioni di equivalenza, renda la definizione univoca. Cioè, definiamo l'intero p-adico ridotto come la rappresentazione che soddisfi la
0 ≤ x_k < p^k for all k ≥ 1   (3)

– Scusa, solo con delle definizioni del genere però non riesco ad afferare il senso di un numero p-adico. Mi servirebbero degli esempi.

– Certo. Gli esempi più semplici sono gli interi rappresentati in Z_p. Possiamo decidere di rappresentare gli interi Z attraverso delle sequenze costanti. Cioè, dato z ∈ Z, rappresentiamo z in Z_p come {z, z, z, . . . }.

– Ah, immergiamo Z in Z_p attraverso un'applicazione iniettiva!

– Giusto! Z può essere visto come un sottoinsieme di Z_p e possiamo chiamare interi razionali gli elementi di Z per distinguerli dagli interi p-adici.

– Quindi se prendo ad esempio p = 3 posso scrivere 40 in Z₃ come {40, 40, 40, 40, 40, . . . }... E... applicando la (3) avrei 40 = {1, 4, 13, 40, 40, . . . }?

– Corretto! Hai trovato un esempio da sola!

– Ma se scelgo un numero p che non è primo che succede? Ad esempio con p = 10 avremmo la base decimale a cui siamo più abituati.

– Sì, si può fare. Però perdiamo delle proprietà. Ad esmpio avremmo degli inversi moltiplicativi di zero. E questo è un risultato indesiderato. Ma... Purtroppo adesso devo andare.

– Va bene. Diciamo che questi numeri p-adici hanno cominciato anche a stancarmi un po'.

– Dai, chiudiamo qui e ti lascio dei riferimenti a del materiale che si può trovare in rete.

Introduction to number theory - 5. p-adic Numbers
mathworld.wolfram p-adic Number
en.wikipedia.org P-adic_number
quora: What are p-adic integers, how do they work and what problems can we solve using them
en.wikipedia.org P-adic_analysis

Il fascismo: liberticida ma onesto?

A chi avesse ancora dei dubbi sul mito per cui il fascismo sarebbe stato sì liberticida ma certamente onesto, consiglio vivamente la visione di questa puntata de La grande storia: Fascismo: dossier, ricatti e tradimenti.

Da https://goo.gl/uuNtiJ

"Si è sempre detto che il Fascismo è stata una dittatura che ha strappato la libertà agli italiani ma che almeno i fascisti non hanno mai rubato, non sono stati corrotti. Invece non è così. Mussolini non fa in tempo a prendere il potere che la corruzione già dilaga. Un sistema corrotto scoperto già da Giacomo Matteotti: denuncia traffici di tangenti per l'apertura di nuovi casinò, speculazioni edilizie, di ferrovie, di armi. Affari in cui è coinvolto il futuro Duce attraverso suo fratello Arnaldo."

Solo per citare alcuni dei molti fatti...

L'affare della ferrovia direttissima Firenze - Bologna (si trova intorno al min. 7 della puntata)

Un documento mostra come Ettore Torre, l'alto commissario delle ferrovie, si sarebbe opposto alla costruzione della ferrovia direttissima Firenze - Bologna per gli episodi di corruzione di cui era venuto a conoscenza.

Torre scrive che Arnaldo Mussolini, il fratello di Benito, gli mandò una lettera per indurlo a desistere dal suo atteggiamento perché la cessione della costruzione della direttissima alla ditta da lui raccomandata avrebbe fruttato a lui, Arnaldo, una mediazione di quindici milioni, che corrispondono a circa 14 milioni di euro odierni. La direttissima viene inaugurata nel 1934. Dopo 10 anni: corruzione e lavori lenti non appartengono solo all'Italia Repubblicana.

L'affare della Sinclair oil (si trova intorno al min. 11 della puntata)

La Sinclair Oil è una compagnia petrolifera sostenuta da alcuni dei principali gruppi finanziari di New York, come la banca di John Davison Rockefeller. Nel 1924 la Sinclair Oil stipula col governo fascista una convenzione che prevede l’esclusiva per novant’anni per la ricerca e lo sfruttamento di tutti i giacimenti petroliferi sul territorio italiano e vantaggi per effettuare nuovi scavi; il tutto con l’esenzione dalle tasse: un privilegio enorme e inspiegabile.

Molti tra i deputati dell’opposizione si chiedono il perché. Tra questi Giacomo Matteotti. Secondo lo storico Marco Canali, Matteotti sarebbe riuscito a trovare le prove della corruzione del governo Mussolini relativamente alla concessione. A corroborare l'ipotesi un articolo del Daily Herald che parla di una tangente di 30 milioni, riscossa probabilmente da Arnaldo Mussolini.

Intorno al minuto 34 si trovano gli episodi di corruzione che coinvolgono personalmente Mussolini.
Solo per citarne uno...
Poco prima della marcia su Roma alcuni industriali milanesi vanno a trovare Mussolini presso la redazione del "Il popolo d'Italia". Pare che quando gli industriali uscirono da quell'ufficio sulla scrivania di Mussolini giacesse una busta con 20 milioni di lire (circa 17 milioni di euro).

Concludo aggiungendo che, dopo essere andato un po' avanti con la lettura di “M. Il figlio del secolo” di Antonio Scurati, le considerazioni di Gabriele Sabatini di cui parlavo qui, non mi convinco più.

Il mistero del suono senza numero - matematica e musica a Esperienza inSegna 2019

Il 21 e il 22 febbraio ho parlato di "Matematica e musica" a Palermo e, come lo scorso anno al premio-UMI Archimede, sono rimasto molto soddisfatto.

Giovedì 21 ho avuto un pubblico di più di cinquanta tra docenti e studenti del dipartimento di matematica e informatica.
Alla fine ho ricevuto una grande quantità di domande interessanti. In particolare ne ricordo una, sul canto gregoriano e le "modulazioni", correlata a una mia affermazione sulla maggiore difficoltà nell'uso dell'intonazione pitagorica dopo l'avvento delle tonalità, delle modulazioni e della musica strumentale.
Ho anche ricevuto una proposta da parte di un'insegnante di scuola superiore per una collaborazione in ambito teatrale.

Venerdì 22 è stata la volta di Esperienza inSegna 2019 con la "conferenza-spettacolo" - Matematica e Musica, un percorso tra Pitagora e Bach.
Il pubblico era di circa 180 persone tra studenti e docenti di scuole superiori, tra cui un liceo musicale.
Ci sono stati applausi a scena aperta rivolti soprattutto agli studenti che rispondevano alle mie domande.

Qui troverete un video con le foto della giornata. Le mie si trovano intorno al minuto 3:35.

Personalmente sono rimasto molto soddisfatto di tutto: della fruttuosa collaborazione pitagorica con il chitarrista/geofisico Daniele Crisci e con la professoressa Elena Toscano, della curatissima organizzazione della manifestazione e del grosso coinvolgimento da parte di studenti e insegnanti.

E poi vedere i volti di qui ragazzi, ammirati di fronte alle acrobazie geometrico musicali di Bach, è stata un’esperienza impagabile.

Il mistero del suono senza numero - mematica e musica a Esperienza inSegna 2019

Se la settimana prossima vi troverete a Palermo venitemi a trovare. Parlerò di "Matematica e Musica, un percorso tra Pitagora e Bach".

Giovedì 21
16.30 -17.30 | al dipartimento di matematica

Venerdì 22 
9.30 -10.30 | conferenza-spettacolo a Esperienza inSegna 2019

Perché “M. Il figlio del secolo” di Antonio Scurati non è il libro di cui Scurati parla - di Gabriele Sabatini

Ho trovato molto interessanti queste considerazioni di Gabriele Sabatini, relative al libro “M. Il figlio del secolo” di Antonio Scurati che sto leggendo in questo periodo.
Riporto qui solo le conclusioni di Sabatini.

Per l'articolo completo:

LE INTENZIONI FALLITE - Perché “M. Il figlio del secolo” di Antonio Scurati non è il libro di cui Scurati parla

"...

Per concludere

È questo un libro che si può leggere solo avendo già gli anticorpi antifascisti, altrimenti il rischio è quello di sottovalutare Mussolini. O di rimanerne infettati. E affascinati dalla reazione, dalla domestica placida sicurezza – decorosa e ordinata – che lo stato autoritario può trasmettere. E anche per questo sarà maggiormente ardito il compito di chi ne realizzerà la annunciata serie televisiva (la casa di produzione Wildside ha già acquisito i diritti)."