martedì, marzo 31, 2009

Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 7: la Biblioteca di Alessandria: Archimede

Abbiamo già visto che nel V sec. a.C. il fulcro del sapere matematico era in Calabria, a Crotone: la sede della scuola pitagorica; e che i pitagorici avevano basato il loro modello del cosmo sull'Aritmetica; e che in seguito ad un crollo logico-mistico-filosofico - ma in anche seguito fisico, visto che la scuola venne bruciata - tale modello venne abbandonato e rimpiazzato con il modello di cosmo di Platone, basato sulla geometria.

Per la precisione la scuola venne bruciata nel 450 a.C. e i pitagorici furono costretti a cercare rifugio in altre città come Fleio, Taranto, Siracusa e Locri. Fu così che il sapere matematico si diffuse per tutta l'area ellenica.

Un nuovo polo del sapere matematico si ricostituì però solo circa un secolo e mezzo più tardi, nella città di Alessandro ed in particolare nella Biblioteca di Alessandria. Luogo in cui Euclide consolidò e sviluppò l'idea di Platone rendendola quasi immortale (o almeno ancora viva e vegeta dopo più di duemila anni).

Nella puntata precedente abbiamo anche detto che dopo Euclide altri grandi matematici continuarono a popolare la Biblioteca: i cosiddetti matematici alessandrini.
I matematici (o geometri) alessandrini produssero importanti contributi al sapere matematico. Relativamente ai Fondamenti della Matematica non andarono però molto avanti rispetto all'evoluzione pitagorico-platonica-euclidea. I Fondamenti rimasero più o meno inalterati fino al XVII sec. quando Fermat e Cartesio introdussero la geometria cartesiana (o analitica) tornando un po' all'approccio pitagorico-numerico.... ma questo lo vedremo forse tra diverse puntate.

Tra i vari nomi di spicco che figurano tra i matematici alessandrini vorrei ricordare Archimede, Eratostene, Diofanto e Pappo.

Archimede (287 a.C. – 212 a.C.) era siciliano (a quei tempi meglio noti come greci della Magna Grecia). Oltre a molte altre cose interessanti che produsse e scoprì, egli va sicuramente ricordato perché fu il primo che cercò di calcolare il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio - attualmente noto come Pi greco (π) - in modo un po' più preciso. In precedenza si utilizzavano delle approssimazioni piuttosto grossolane.
Nel breve trattato La misura del cerchio Archimede espone un metodo con il quale si può approssimare arbitrariamente il rapporto tra circonferenza e diametro di un cerchio dato, π per l'appunto.
Il metodo prevedeva l'approssimazione del cerchio, dall'interno e dall'esterno, con poligoni regolari inscritti e circoscritti.
Archimede ottenne le sue stime disegnando tali poligoni sulla sabbia: Parrebbe che arrivò fino a poligoni di 96 lati. In tal modo ottenne un valore compreso tra 223/71 e 22/7.

Fu solo nel 1761, grazie a Johann Heinrich Lambert, che si scoprì che π non può essere scritto come quoziente di due interi e che quindi, così come 2, è un numero irrazionale.

Nel 1882 si andò anche oltre. Allora infatti Ferdinand von Lindemann dimostrò che non solo π è un numero irrazionale, ma che è anche un numero trascendente; è cioè impossibile esprimere π usando un numero finito di interi, di frazioni e di loro radici.
La conseguenza immediata di questa scoperta fu che la quadratura del cerchio, cioè la costruzione, con soli riga e compasso, di un quadrato della stessa area di un dato cerchio, risulta impossibile.

La quadratura del cerchio, assieme al problema della trisezione dell'angolo e a quello della duplicazione del cubo, costituiva uno dei tre problemi classici della geometria greca.

La quadratura del cerchio fu l'ultimo dei tre problemi ad essere risolto; dove per risoluzione si intende appunto la dimostrazione dell'impossibilità della costruzione usando solo riga e compasso.

Nella prossima puntata parleremo degli altri tre matematici alessandrini citati: Eratostene, Diofanto e Pappo.

Indice della serie

giovedì, marzo 26, 2009

Uso criminoso delle statistiche

Stanotte ho sognato, e nel sogno mi è comparso un omino scarno con capelli e barba lunghi e bianchi che mi ha raccontato questa storiella.

Nel continente di Atlantide c'è un paese di 60 milioni di abitanti, chiamato Pontifilandia, che è la sede di una setta religiosa, chiamati i Pontifisti, che per motivi morali rifiuta l'uso delle cinture di sicurezza.
Il capo di tale setta religiosa, chiamato Pontifista Massimo, un giorno, mentre è in visita ufficiale in un paese flagellato da incidenti mortali per mancanza di cinture di sicurezza, si scaglia pubblicamente contro l'uso delle cinture di sicurezza, definendole inutili. Un giornale di Pontifilandia, chiamato "Il Velo" (il cui direttore apparterrebbe alla categoria dei laidi devoti), per corroborare la bislacca tesi del Pontifista Massimo avrebbe erroneamente estrapolato - secondo l'omino consapevolmente e ad arte - una conclusione ovviamente sbagliata dall'"analisi" dei dati sul tasso di incidenti mortali di una cittadina di Pontifilandia.

Perché, dice l'omino, la conclusione del Velo è fallace?
Analizziamola, dice.

Dato statistico:
I dati statistici dimostrano che in una cittadina di Pontifilandia di seimila abitanti, chiamata Civitanova - che è notoriamente la sede di una comunità di cittadini, chiamati l'Unione degli Autisti delle Libertà (UAL), che si oppone all'uso delle cinture di sicurezza - il tasso di incidenti mortali rimane comunque alto. Il Velo sottolinea: paragonabile a quello del paese recentemente visitato dal Pontifista Massimo.

Considerazione numero 1 del Velo:
È la dimostrazione palese che la differenza la fa l'appartenenza a certe unioni di cittadini e non la disponibilità di cinture di sicurezza.

Considerazione numero 2 del Velo:
Gli incidenti mortali sono soltanto la conseguenza di comportamenti automobilistici nuovi e libertari, in cui una guida spregiudicata e avalutativa soppianta i vecchi condizionamenti.

Conclusione del Velo:
Il Pontifista Massimo ha ragione nel sostenere l’inutilità sostanziale cinture di sicurezza come strategia per ridurre gli incidenti mortali.

L'omino elabora quindi l'analisi che riporto qui sotto.

Analisi:
La considerazione numero 1 del Velo è parzialmente vera. Ovviamente l'appartenenza a certe unioni di cittadini influisce negativamente.
Secondo il Velo sarebbe però solo l'appartenenza all'UAL, ritenuta scandalosa ed immorale, ad aumentare gli incidenti mortali e non il fatto che spesso i membri dell'UAL non usano le cinture di sicurezza.

Il Velo ignora inoltre, sempre deliberatamente secondo il parere dell'omino, il fatto che il dato statistico sia molto più basso tra la popolazione giovane. Dimostrando il fatto che la maggior parte degli incidenti siano causati da persone educate decenni fa quando la consapevolezza dei mezzi di prevenzione era molto meno diffusa.

La considerazione numero 2 del Velo è, sempre secondo l'omino, quasi incommentabile. Da un punto di vista logico però si possono comunque opporre le stesse obiezioni usate per la prima considerazione, dice.

La conclusione del Velo è ovviamente fallace.
La falla maggiore consiste nel generalizzare i dati di una di seimila abitanti, con un tasso molto alto di popolazione che non usa le cinture, rendendoli arbitrariamente validi per una popolazione di 60 milioni di individui (circa quattro ordini di grandezza di differenza).

Mi sono quindi svegliato e ho pensato: che sogno assurdo! Nella realtà fortunatamente queste cose non succedono.

Più tardi poi, ascoltando la puntata di Radio3 Scienza di oggi, ho sentito un altra storia.
Pare che a difendere la tesi sull'inutilità dei preservativi nella limitazione del contagio da AIDS ci sia il solito ateo devoto: Giuliano Ferrara.

Per corroborare la tesi di Benedetto XVI avrebbe estrapolato una conclusione dall'"analisi" dei dati sul tasso di infezione da AIDS di Washington DC.

Dato statistico:
Il tasso di infezione da AIDS della popolazione sopra i dodici anni di Washington DC è di circa il 3%. Il Foglio sottolinea: pari a quello dell’Uganda.

Considerazione numero 1 del Foglio:
È la dimostrazione palese che la differenza la fanno i comportamenti a rischio e non la disponibilità dei profilattici (disponibilità universale nella città di Washington).

Considerazione numero 2 del Foglio:
La “sindrome da immunodeficienza acquisita” è soltanto la conseguenza di comportamenti sociali nuovi e libertari, in cui una sessualità spregiudicata e avalutativa soppianta i vecchi condizionamenti “oscurantisti” della continenza e dell’amore-eros come basamento dell’agape familiare.

Conclusione del Foglio:
Il papa ha ragione nel sostenere l’inutilità sostanziale del preservativo come asse strategico della lotta contro la grave epidemia di Aids in Africa.

martedì, marzo 24, 2009

Primo contatto con il Salvatore

Ho avuto il primo contatto con il mio non più anonimo salvatore.
Sono stato io a prendere l'iniziativa.
Per un po' mi ero chiesto, e ne avevo anche discusso con Zucchero e con amici, quale potesse essere il mezzo migliore per il primo contatto. Inizialmente pensavo alla posta elettronica, poi ho cambiato idea, pensando che fosse meglio una lettera ordinaria in cui raccontare maggiori dettagli, ed infine sono tornato all'opzione posta elettronica con messaggio esplorativo abbastanza breve.
Devo dire che la risposta è stata promettente. Egli ha mostrato interesse nel ricevere notizie più dettagliate. Ora dovrò trovare un po' di tempo ed impegnarmi a scrivere la risposta alla risposta.

lunedì, marzo 23, 2009

Domenica binaria, triste e solitaria, ma non meno gastronomica: ri-cannelloni, profiterol e broccoletti e salsiccie

Ieri, penultima domenica di quaresima, non abbiamo avuto ospiti e l'atmosfera famigliare non era delle più gioiose.
Per ricrearci un po' Zucchero ha deciso di cimentarsi per la prima volta nella preparazione del profiterol.
Io, come succede spesso, ho assistito la pasticcera prestando la mia manodopera per compiti di bassa manovalanza: come imburrare le teglie, mescolare, infilzare la siringa nei bignè, esprimere qualche idea creativa ed infine il compito più ingrato e frustrante: gli assaggi.

Prima di pranzo Zucchero si è cimentata nella preparazione dei bignettini.

Ha cominciato con la pasta choux per i bignè: acqua, burro, farina...

...e quindi uova.

Deposizione con siringa della pasta choux.

Infornatura a 180° per 20 minuti.

Il primo passo pare riuscito egregiamente.

Preparazione della crema pasticciera.

Pausa pranzo con l'ultima tornata di cannelloni di grano saraceno che avevamo in congelatore (durante il mio ultimo viaggio nella Carolina del Nord, Zucchero aveva dedicato la domenica alla preparazione di una quantità esorbitante di cannelloni).

Dopo pranzo:

Montatura della panna.

Mescolamento della panna montata con la crema pasticcera al fine di ottenere...

...sua eccellenza madame de Chantilly, secondo la mia gola la regina delle creme. Surclassata solo dall'imperatrice sua maestà Crema allo zabaione.

Infilzatura e riempimento siringato dei bignettini.

Scioglimento a bagnomaria della cioccolata fondente.

Raffreddamento.

Mescolamento di panna montata, cioccolata fondente e crema pasticcera. Per la prossima volta dovremmo provare ad aumentare la quantità di cioccolata e diminuire quella della panna. Forse anche solo cioccolata fondente e poca crema pasticcera.

Immersione dei bignè.

Composizione della piramide bignearia.

Per cena infine, per completare in bellezza la nostra domenica binaria quaresimale, un classico laziale-campano-pugliese: broccoletti e salsicce stufati.

venerdì, marzo 20, 2009

Equinozio di Primavera


Buon Equinozio di Primavera a tutti!

Vi piace l'immagine animata kitschissima che ho usato per simboleggiare l'equinozio? ;-)

A scuola vi è stato insegnato che l'equinozio di primavera cade sempre il 21 marzo? Bè, è una nozione un po' imprecisa. La data oscilla tra il 20 ed il 21 marzo.
Quest'anno, ad esempio, l'equinozio di primavera cade il 20 marzo alle 11:44.

Speriamo che porti fortuna e prosperità a tutti!

mercoledì, marzo 18, 2009

Reminiscenze cubane

Ieri sera ero in fase di reminiscenze cubane. Questa canzone e credo questa particolare registrazione la si sentiva in ogni luogo e in ogni salsa.

Aprendimos a quererte
desde la histórica altura
donde el sol de tu bravura
le puso cerco a la muerte.

Estribillo:
Aquí se queda la clara,
la entrañable transparencia,
de tu querida presencia
Comandante Che Guevara.

Tu mano gloriosa y fuerte
sobre la historia dispara
cuando todo Santa Clara
se despierta para verte.

Estribillo

Vienes quemando la brisa
con soles de primavera
para plantar la bandera
con la luz de tu sonrisa.

Estribillo

Tu amor revolucionario
te conduce a nueva empresa
donde esperan la firmeza
de tu brazo libertario.

Estribillo

Seguiremos adelante
como junto a ti seguimos
y con Fidel te decimos:
!Hasta siempre, Comandante!

Estribillo<

lunedì, marzo 16, 2009

Semireplica di domenica scorsa: cannelloni, filetto di maiale e brioscia

Per la scorsa fine settimana abbiamo avuto altri ospiti e ci siamo risollazzati con:

ri-cannelloni di grano saraceno - particolarmente apprezzati dalla piccola di casa -

e ri-filetto di maiale con mele, pepe rosa e pepe verde, accompagnato da un contorno di insalata mista.

La torta con marmellata di rosa canina ce la siamo invece conservata per le colazioni.

Dopo il pranzo domenicale le donne - soprattutto l'ospite - si sono dedicate alla preparazione della brioscia scaglionata in tre fasi di lievitazione: prima di pranzo quella della missitura, rilavorazione, seconda lievitazione.
Poi preparazione della treccia,

disposizione nella teglia,

ulteriore lievitazione,

e infine cottura.

Non era male.

Dopo una breve visita per birra e Bretzel da Vetter è stato invece il mio turno:

sono tornato in casa per la preparazione del cosciotto di agnello.
Stavolta è venuto un po' duro. Altre volte era venuto meglio. Credo ci non aver dosato bene temperatura ed irrorazioni con il brodo.

mercoledì, marzo 11, 2009

Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 6: gli Elementi di Euclide

Dicevamo quindi che la rifondazione della Matematica ad opera di Euclide era basata sulla Geometria, e quindi l'Aritmetica e conseguentemente gli enti numerici erano definiti a partire da essa.

Il libro con cui Euclide rifondò la Matematica, gli Elementi, era un'opera talmente solida (anche se tra la fine del XIX e l'inizio del XX sec. vennero individuate diverse piccole lacune facilmente colmabili) che, caso probabilmente unico, venne utilizzato in Europa come libro di testo scolastico per più di duemila anni, fino al XIX sec.
Pensate che gli Elementi è secondo (di poco) solo alla Bibbia come numero di edizioni. Questo fatto può indurre a pensarlo come una sorta di Bibbia del pensiero razionale accanto a quella della fede che per definizione è irrazionale.

È a partire da Platone, ma ancor di più con Euclide, che comincia a delinearsi quella iniziale dicotomia (che in seguito diventerà tricotomia, quadricotomia, fino all'attuale eptacotomia) della Matematica nei due grossi rami: della Geometria, basata su quello che poi sarà l'apriori kantiano dello Spazio, e dell'Aritmetica, che era basata sull'apriori kantiano del Tempo.

Nella puntata precedente dicevamo che viene da chiedersi come riuscì Euclide, usando questo nuovo approccio, ad aggirare il problema dell'irrazionalità e quindi indefinibilità come rapporto di numeri interi della radice quadrata di 2 (2)?

In modo abbastanza facile; e cioè, visto che l'interpretazione di Euclide era basata sulla Geometria, il problema della presenza di numeri irrazionali veniva aggirato definendo questi ultimi semplicemente come enti geometrici.
Che cosa sarebbe quindi la radice quadrata di 2 in questa nuova interpretazione? Nient'altro che la diagonale del quadrato di lato 1.

Euclide definì un sistema di poche semplici regole (dette anche assiomi) che non dovevano essere dimostrate (vere a priori) e su di esse costruì il suo sistema geometrico, usato ancora adesso con il nome di Geometria Euclidea.

Inoltre per molti anni, e addirittura anche secondo Kant, la Geometria euclidea venne considerata come l'unico modo possibile per le menti umane di immaginare lo spazio. Nel XIX sec., pochi anni dopo la morte di Kant, si mostrò che non era proprio così. Si potevano infatti concepire delle strutture geometriche coerenti e non euclidee. Rimane comunque vero il fatto che la Geometria euclidea è l'unico modo di poter percepire lo spazio per le menti umane. Ciò implica ovviamente che l'immaginazione è sconfinatamente più potente della percezione. Forse è una delle caratteristiche che ci distingue dagli altri animali?

Dopo Euclide altri grandi matematici continuarono a popolare la Biblioteca alessandrina: i cosiddetti matematici alessandrini; come Archimede, Eratostene, Ipparco, Nicomede, Erone, Menelao, Tolomeo, Diofanto e Pappo.

Di alcuni di questi faremo qualche cenno nelle prossime puntate.

Indice della serie

martedì, marzo 10, 2009

Domenica con cannelloni, filetto di maiale e torta - Salvatore

Domenica abbiamo avuto ospiti e ci siamo sollazzati con:

cannelloni di grano saraceno,

filetto di maiale con mele, pepe rosa e pepe verde, accompagnato da un contorno di patate al forno (che sono venute particolarmente buone),

e torta con marmellata di rosa canina.

Nel frattempo mi è stato comunicato che il mio anonimo salvatore ha ricevuto i miei dati e contemporaneamente io ho ricevuto i suoi. Abita in un paesino della Baviera a poche decine di Km a nord est di Monaco.

Ora dovrò trovare il modo e le parole giuste per contattarlo.

mercoledì, marzo 04, 2009

Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 5: Euclide

Dicevamo quindi che il modello di cosmo di Pitagora, basato sull'aritmetica, fu abbandonato e rimpiazzato con il modello di cosmo di Platone, basato sulla geometria.

Tra i giovani discepoli di Platone ce n'era uno particolarmente promettente che si chiamava Euclide (IV sec. – III sec. a.C.).
Effettivamente l'operato dell'allievo negli anni successivi non dovette sicuramente deludere le aspettative del Maestro.

Dopo aver lasciato la scuola platonica, la fama di Euclide si era infatti già talmente diffusa per il mondo ellenico che Tolomeo I, fondatore della dinastia tolemaica, diadoco di Alessandro Magno e primo re dell'Egitto ellenistico, lo chiamò ad operare nella Biblioteca di Alessandria da lui fondata e nell'annesso Museo.

Il lavoro che Euclide portò a compimento ad Alessandria fu mastodontico. Nei suoi Elementi rifondò tutta la Matematica dei tempi (Aritmetica e Geometria) costruendo un edificio imperituro che sopravvisse inalterato per duemila anni, e che ancora oggi, anche se non è più l'unico edificio geometrico possibile, resiste.
È sopravvissuto addirittura alle molteplici demolizioni dei secoli XIX e XX. Anzi ne uscì addirittura restaurato e rafforzato. Risultò infatti essere completo a differenza dell'Aritmetica.... Ma forse stiamo anticipando troppo. Questa parte forse la discuteremo tra diverse puntate.

Euclide ebbe la fortuna di nascere dopo Aristotele (384 a.C. – 322 a.C.) e poteva quindi partire dal lavoro sulla Logica del suo predecessore.
(L'adagio di Bernardo di Chartres, "siamo dei nani sulle spalle di giganti" ricorre continuamente in tutte le branche del sapere umano, ma soprattutto nella Matematica, soprattutto dopo l'introduzione del metodo logico aristotelico).
Volle quindi costruire il suo edificio usando quello che ancora oggi è il metodo usato per costruire le strutture matematiche: il metodo assiomatico: a partire da pochi assiomi (verità aprioristiche), da una serie di ferree deduzioni logiche verificabili da ogni mente umana razionale e dall'insieme dei risultati precedenti, si costruisce l'edificio.

Il suo edificio era basato sulla Geometria, e quindi l'Aritmetica e conseguentemente gli enti numerici erano definiti a partire da essa.

A questo punto viene da chiedersi: come fece quindi Euclide usando questo nuovo approccio ad aggirare il problema dell'irrazionalità e quindi indefinibilità in termini numerici della radice quadrata di 2 (2)?
Questo lo vedremo nella prossima puntata.

Indice della serie

lunedì, marzo 02, 2009

Colazione e balconaggio

Sabato mattina ero molto assonnato. Mi sono alzato un po' più tardi del solito. Sempre in tempo comunque per la mia spesa del sabato mattina prima che la folla esca di casa.

Ho inforcato la fida (ma nemmeno più tanto) Dulcinea e come al solito ho cominciato il giro con la panetteria di fiducia (nella foto) comprando due muffin ai mirtilli (fuori stagione, lo so), una briosche, un panino ed un einback (una sorta di maritozzo di pasta lievitata).

Ho proseguito il solito giro passando per la boulangerie francese, dove ho comprato due croissant e un tortino valparaiso (mousse di cioccolata fondente con sommità laccata con la medesima, cuore di mousse di cioccolata bianca, su una base biscottata).

Quindi il solito giro al mercato (nella foto), dove avevo poco da comprare. Ho preso solo un paio di teste d'aglio, un cosciotto d'agnello per il pranzo della domenica e del pesce (Heilbutt bianco, che si è poi rivelato una sòla, meglio quello normale) per la cena.

Tornato a casa ho preparato il caffè, il mio amatissimo tazzone di latte, la spremuta con le arance rosse siciliane e disposto i vari pezzi a tavola. Ci siamo concessi questa abbondante colazione. È stato molto piacevole.

Nel pomeriggio mi sono dedicato alle mie amate piante inaugurando i lavori della svasatura primaverile (anche se della primavera si è percepito un lontanissimo e timidissimo sentore solo negli ultimi due o tre giorni).
Il banano, essendo cresciuto troppo, necessitava di un vaso più grande.

Purtroppo quattro delle fragilissime foglie si sono irrimediabilmente danneggiate durante l'operazione ed ho dovuto amputarle.
Zucchero era nel nostro salotto, usuale dimora del banano. Mi ha visto uscire in tenuta da giardinaggio con quella pianta enorme (prima della cura) e rientrare con quella triste lontana parvenza del banano che fu (dopo la cura).
Una prima espressione di perplessità si è disegnata sul suo volto, per poi trasformarsi in una divertita risata.

Oltre al banano ho fornito di una nuova casa anche i famigerati habaneri: il jamaicano e i tre messicani. Con loro fortunatamente l'operazione è riuscita meglio.... almeno per ora. Dovranno passare sempre quelle due tre settimane di adattamento alla nuova dimora per poter dare la sentenza definitiva...