Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 4: Platone e le forme geometriche

Visto che ad almeno uno dei miei lettori piace questa serie e che io mi diverto a scriverla, proseguo imperterrito nonostante gli sbadigli della maggioranza; ma non si può accontentare sempre la maggioranza ;-)

Dicevamo quindi che il castello crollò, ma qualcosa, anzi direi moltissimo, rimase.
Si può tranquillamente sostenere che chi utilizzava la matematica in modo utilitaristico non si accorse neppure lontanamente del crollo. Però dal punto di vista teorico/filosofico/mistico l'inghippo provocava un ineludibile cortocircuito: si doveva necessariamente abbandonare almeno il relativo modello di cosmo.
Era inoltre addirittura il motto dei pitagorici a dover essere abbandonato. Nessuno avrebbe più potuto sostenere che Tutto è numero (razionale). Anzi, a voler essere rigorosi il motto sarebbe dovuto cambiare in: Quasi nulla è numero (razionale). Infatti la quantità di numeri irrazionali è innumerabilmente più grande rispetto a quella dei numeri razionali. (Per chi volesse approfondire...)

L'idea di fondo di Pitagora comunque, sfrondata dagli elementi mistici, che si potesse interpretare la natura utilizzando i numeri come strumento, non era del tutto da buttare. Bisognava solo correggere un po' il tiro: o spostarsi verso un'altra branca della Matematica, come si fece poco più di un secolo dopo; oppure estendere il concetto di numero includendo questi oggetti "irrazionali", come si fece più di 1500 anni dopo.

Nel frattempo però non si poteva basare il modello dell'universo su qualcosa che non riusciva a spiegare tutti gli enti esistenti.
Per questo motivo, circa centocinquat'anni dopo Pitagora (Samo 575 a.C. – Metaponto, c. 495 a.C.), Platone (Atene, 427 a.C. – Atene, 347 a.C.) operò in un qualche modo una sostituzione: fece assurgere la Geometria a qualcosa di simile a quello che rappresentavano i Numeri e l'Aritmetica per i pitagorici. In questo modello platonico erano le Forme Geometriche che, sostituendo il ruolo dei numeri, furono assunte come enti reali e prescelte alla spiegazione dei fenomeni dell'Universo.

Così come Pitagora può essere un po' considerato il padre di ciò che oggi viene chiamato Teoria dei Numeri, Platone può essere un po' considerato il padre della Geometria.

Ciò che rende la Geometria di Platone diversa da quella dei suoi predecessori è un fatto simile quello che rendeva l'Aritmetica di Pitagora diversa da quella dei suoi predecessori: Platone fu tra i primi a speculare sulla natura delle entità geometriche.
Acutissima fu l'osservazione (oggi a posteriori potrebbe risultare ovvia) che le forme geometriche, oggetto dei nostri studi e dei nostri teoremi, in natura semplicemente non esistono.
Un cerchio o un quadrato perfetto, che pur ogni individuo conosce calcolandone area e perimetro, sono assenti dalla nostra realtà fisica.
Nella realtà esistono solo delle approssimazioni delle suddette forme teoriche. L'intelletto vedrebbe quindi, al di là della realtà sensibile, un'idea di cerchio, quadrato e altre forme geometriche.

Nel modello cosmico di Pitagora i cinque solidi platonici (gli unici solidi regolari esistenti) da lui stesso scoperti occupavano un ruolo fondante.
In particolare Pitagora in una sorta di prototavola di Mendeleev associò ad ognuno di essi un elemento:

al tetraedro il fuoco,

al cubo la terra,

all'ottaedro l'aria,

all'icosaedro l'acqua,

mentre ritenne che il dodecaedro fosse la forma dell'universo.

I solidi platonici furono poi studiati con maggiore razionalità da Euclide e da altri geometri greco-alessandrini che saranno uno dei soggeti della prossima puntata....

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La settimana nella Carolina ed il rientro

Mi scuso per la latitanza, ma ho avuto una settimana intensissima. La riunione è durata quattro giorni. È stata un massacro, anche se molto produttiva ed interessante. Le pause erano tutte molto (troppo) brevi. Una volta abbiamo addirittura pranzato nella sala conferenze mentre uno sventurato mostrava la sua presentazione.

Già alla fine della giornata lavorativa ero distrutto, ma come se non bastasse ci avevano anche organizzato per ogni sera cene con tutto il gruppone. Erano pure piacevoli, ma alla fine mi sentivo totalmente stremato: fisicamente e psicologicamente. Sono riuscito ad esimermi una sola volta.

A tutto questo si univa la sfasatura da fuso orario per cui i primi giorni mi svegliavo sempre alle 4:30. Alla fine ero riuscito a protrarre il sonno fino alle 6. Sfruttavo il tempo antelucano per esercitare un'ora di camminata su nastro, che comunque non è bastata a farmi smaltire il megaeccesso calorico: alla fine ho accumulato quasi tre chili di liquidi e grassi.

Non so perché, ma quando mi trovo lì non riesco a controllarmi e passo la giornata a mangiucchiare cibi sgraffignati in cucina: gallette, frutta secca, mele e a volte qualche dolcetto; e a bere caffè americano decaffeinato: un'ignobile schifezza.
Per non parlare delle colazioni pantagrueliche: una scodella di cereali affogata in mezzo litro di latte e caffè, pane tostato, burro e miele.
Poi stavolta si sono unite pure le cene con i megadessert americani trabordanti panna.

La domenica mattina a Dallas sono andato a visitare il museo dedicato a JFK e lì sotto ho assistito a questa bizzarra scena. Ancora non riesco a spiegarmi come il signore sia riuscito a condurre la macchina fino a quel punto.

Per quanto riguarda il viaggio di ritorno non si può dire che sia filato proprio liscio.
Ero all'aeroporto alle 12 per prendere il volo diretto a Chicago. Ci hanno fatto imbarcare in orario. Dopo vari annunci di ritardo ci hanno gentilmente invitati a scendere e dopo 45 minuti di fila mi hanno detto che il volo era stato annullato e che la combinazione migliore che avrebbero potuto offrirmi per arrivare a Francoforte avrebbe previsto la partenza alle 20:35 con scalo mattutino a Londra.
Ho approfittato dell'attesa per un rilassante e costoso massaggio su tutto il corpo. Devo dire che è stato un ottimo investimento e che non mi sono minimamente pentito di averlo intrapreso.
I tutto questo trambusto mi hanno pure perso la valigia, che fortunatamente mi è tornata circa mezzora fa.

Il rientro è stato decisamente piacevole. Ad aspettarmi c'erano: la "TORTA CON CONFETTURA DI ROSA CANINA", preparata da Zucchero nonostante la febbre,

e i cannelloni.

Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 3: il grande contributo dei pitagorici

Dicevamo quindi, come ne uscì la Matematca da questa scoperta che a partire dai numeri si può definire qualcosa di non classificabile come numero secondo la definizione esistente allora?

Semplice! Trovando una definizione che potesse includere il nuovo ente tra i numeri. A questo passo però (almeno da un punto di vista formale perché informalmente lo si cominciò a fare molto prima) si arrivò solo più di 1500 anni dopo con Dedekind (forse lo vedremo tra qualche puntata...).

Tornando invece ai tempi della scuola calabrese (la sede era a Crotone) dei pitagorici e alla storia del delatore, secondo alcuni questi sarebbe stato Ippaso di Metaponto; a cui sarebbe anche attribuita la scoperta stessa dell'irrazionale;


e che una dubbia leggenda vuole addirittura condannato a morte per cotanta disvelazione e diffusione.

Ma non è finita qui!
Non solo il diabulus in matematica si celava dietro il teorema del Maestro, ma addirittura la bestia fu scoperta albergare anche anche alll'interno del simbolo dei pitagorici: il pentagramma pitagorico. Dove nuovamente il mostro dimorava nel rapporto tra diagonale e lato del pentagono descritto. Una vera iattura!

(Stavolta il rapporto coincide con l'interessantissima Sezione aurea, che si trova celata nei posti più impensati: dalla Pittura all'Architettura, fino alla Musica e alla Letteratura.)
Nonostante le inattese scoperte, anzi forse in parte proprio grazie ad esse, il contributo dei pitagorici al sapere umano e alla scienza è enorme. Furono i primi ad accorgersi che alcune leggi della natura erano governate da regole esprimibili matematicamente con dei numeri.
Ora è un fatto ovvio, ma la sorpresa dovette essere molto grande per i primi uomini che si accorsero dell'inattesa coincidenza; ed è anche comprensibile che tale scoperta li potesse condurre a dedurne un'interpretazione che dava un valore mistico ai numeri.
In particolare si racconta che tale scoperta avvenne investigando le leggi che regolavano l'emissione di suoni da parte di corde o corpi posti in vibrazione.

Quindi nei pitagorici si possono in qualche modo scorgere i progenitori sia della Matematica che della Fisica.

Il contributo più importante alla Matematica da parte dei pitagorici non è comunque né il famoso teorema (che pare fosse già noto ed utilizzato da Cinesi, Babilonesi ed Egizi qualche millennio prima) e né la scoperta dell'irrazionalità di √2.

Il contributo più importante alla Matematica da parte dei pitagorici è stato il fatto che essi non si accontentarono di utilizzare o enunciare i suddetti risultati, come era stato fatto fino ad allora, ma vollero invece "dimostrarli". Introdussero quindi per la prima volta il concetto di dimostrazione matematica; e cioè una sequenza di passaggi logici, a partire da pochi fatti noti, che portino ad una conclusione che valga in generale.
In particolare poi nel caso dell'irrazionalità di √2 introdussero la dimostrazione per assurdo, usata moltissimo nei secoli e millenni a venire fino a tutt'oggi.

Nella prossima puntata parleremo di Platone e le forme geometriche.

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Dallas

Sabato 14 febbraio

Stavolta le mie peregrinazioni tra i vari scali per raggiungere la Carolina del Nord mi hanno portato a Dallas.
Le procedure aeroportuali, a parte un terzo grado all'aeroporto di Francoforte che penso non avrebbero fatto neppure al cugino di Bin Laden, sono state più snelle rispetto all'ultimo viaggio.
Viste le latitudini, più o meno quelle di Casablanca, mi sarei aspettato un clima più mite. Invece indosso tranquillamente lo stesso abbigliamento con cui sono partito. Ieri c'erano una decina di gradi. Stamane ce ne saranno stati anche meno.

Sono capitato in un albergo nuovo ed ipertecnologico.

Avevo scelto l'albergo in quanto vicino al centro (downtown) di Dallas.
Pensavo quindi di poter raggiungere il centro a piedi. Invece mi hanno detto che è impossibile. Semplicemente non esistono percorsi pedonali.
A Dallas ho trovato il concetto di città americana ancora più estremizzato rispetto alle altre città che ho visto. Dallas si dispiega su di un territorio vastissimo con un tessuto urbano che non è altro che un insieme di piccoli nodi, prevalentemente, uffici, zone residenziali e centri commerciali (pare che Dallas sia la città con più alta concentrazione di questi), collegati da una ragnatela di superstrade a 5-6 corsie.
L'albergo fornisce un servizio di navette gratuito per ogni zona della città. La signora nera mi accompagna gentilmente al centro (downtown) di Dallas nella zona ristoranti: una via di 300 m circa con ristoranti e negozi.

Questo negozio attrae la mia attenzione. Entro.
Vendono cose texane.

Gli scaffali espongono una quantità e qualità di stivali che non avevo mai visto prima.
Siccome ho la passione per gli stivali da quando facevo le scuole elementari, rimango molto ammirato.

Sono proprio tanti.

Molte mercanzie (forse quasi tutte) sono piuttosto kitsch.

Compreso l'arredamento.
Però è un kitsch che mi diverte e quasi mi piace.
Vorrei comprare qualcosa come ricordo. Alla fine prendo un barattoletto di grasso per i miei stivalacci che purtroppo non supererà la prova liquidi finendo nella spazzatura dell'aeroporto.
Uscito dal negozio, nonostante mi trovi nella zona ristoranti devo girare un po' per trovarne uno. È S. Valentino e i ristoranti sono quindi affollati di coppie.
Alla fine ne trovo uno messicano dove mi consentono di mangiare seduto al tavolo del bar.
Inizialmente pensavo di limitarmi ad un'insalata.

Poi cambio idea: sono in Texas e voglio provare la famosa carne texana. Alla fine opto per un inconsueto compromesso: piatto di aragosta e filetto di manzo. Non è male, ma neppure speciale... magari non è il ristorante adatto....

Trovo singolari nome e aspetto di questo ristorante...

Dopo un giro e qualche foto ai grattacieli

entro in un supermercato dove noto del vino con queste strane etichette.
Telefono quindi all'albergo per far venire la navetta a riprendermi.
La signora nera, autista della navetta, è stata molto gentile e vorrei ricompensarla, ma non sono ancora riuscito a cambiare i miei euro. Dico alla ragazza se li accetta. Mi risponde di sì. Le lascio una banconota da 10. La prende in mano e la rimira divertita: è la prima volte che ne vede una...

Un avvincente percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 2: il crollo del castello pitagorico

Che tipo di problemi creò quindi la scoperta che la diagonale del quadrato non può essere misurata in termini di lato del quadrato?

Nella puntata precedente, Crazy time faceva riferimento al teorema di Pitagora rinominandolo "il mistero di Pitagora".
Effettivamente, nella ridefinizione di Crazy time c'è del vero. Per ironia della sorte infatti i pitagorici trovarono la loro bestia nera celata proprio nel famoso teorema del Maestro.
Dovettero essere infatti molto sorpresi dal fatto che un caso particolare del teorema conduceva proprio alla grandezza incommensurabile che faceva crollare la loro mistica/teoria secondo la quale tutto è numero (razionale) e tutto è quindi misurabile attraverso il numero.

Il caso particolare più semplice del teorema (ce ne sono un'infinità) che porta alla grandezza incommensurabile è il seguente.
Se consideriamo il triangolo rettangolo di cateto 1 e chiamiamo x la lunghezza incognita dell'ipotenusa, la nota filastrocca del teorema ci dice che l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è pari alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.
Quindi nel nostro caso 1² + 1² = x².

Da cui, sommando 1² + 1² = 2 = x².

Estraendo quindi la radice da ambo le parti:

√2 = x

La lunghezza dell'ipotenusa (che coincide poi con la diagonale del quadrato di lato 1) coincide quindi con il diabulus in matematica, con la bestia nera incommensurabile.

(La scoperta si può anche esprimere in termini un po' più matematici dicendo che √2 non si può esprimere come un rapporto di numeri interi; o ancora che √2 non è un numero razionale. Per chi fosse interessato ad una semplice dimostrazione dell'irrazionalità di √2 la può trovare qui.)

La scoperta creò sicuramente scandalo all'interno della setta. Faceva crollare tutta il loro modello del cosmo. Non avrebbero più potuto asserire la loro teoria/filosofia/religione che sosteneva che il mondo è completamente misurabile e rappresentabile attraverso i numeri e neppure quindi che attraverso la scoperta delle proprietà dei numeri si potessero specularmente scoprire i misteri dell'Universo. All'interno della scuola si decise quindi di mantenere segreta la scoperta.
Purtroppo pare che un delatore (onore al merito) divulgò la dimostrazione e il castello crollò.

È il prezzo che si paga a fondare una mistica su qualcosa di razionale.

Quindi il modello pitagorico crollava, in quanto parve che nell'universo si potevano trovare grandezze non esprimibili attraverso numeri.

Come ne uscì invece la Matematica da questa scoperta che a partire dai numeri si può definire qualcosa di non classificabile come numero secondo la definizione esistente allora?
Lo vedremo nella prossima puntata....

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Una fine settimana a Triberg

Nella fine settima ci siamo concessi un viaggetto a Triberg. Città della Foresta Nera conosciuta per motivi non turistici.
Abbiamo pernottato da Pfaff. Il nostro amato ristorante (1, 2, 3) che ci ha visto per la prima volta ospiti dell'albergo.
La cittadina era leggermente innevata.
Dopo l'abbondante colazione con annessa preparazione di panini per il pranzo ci siamo incamminati verso il bosco lungo uno dei percorsi che battevo durante le mie riabilitazioni.
Eravamo un po' dubbiosi relativamente all'accessibilità e la pericolosità dei sentieri.
Effettivamente erano tutti totalmente ricoperti di neve ghiacciata. Siamo stati costretti a camminare ai bordi dei sentieri.
Ad un certo punto ha anche cominciato a nevicare.
Nonostante le insidie di percorso e meteorologiche la salita è stata piacevole...

e siamo riusciti a raggiungere l'altipiano che si trova intorno ai 900 m slm.

Continuiamo il cammino.


Dopo un breve tratto di strada asfaltata ci riaddentriamo nel bosco più innevato del precedente e continuiamo per i saliscendi dell'altipiano.

Riprendiamo quindi la discesa.

Dopo la lunga discesa rientriamo a Triberg e con una certa sorpresa (bè, veramente c'era da aspettarselo, viste le temperature delle scorse settimane) troviamo il laghetto ghiacciato.
Mi sono divertito come un matto a vedere le anatre che scivolavano per rincorrere i pezzetti di pane che distribuivamo loro.

Immagino che lo spessore di ghiaccio consentisse anche la pattinata.

Lasciato il laghetto riprendiamo la discesa fino alla nostra pensione.
Alla fine della camminata il mio contapassi conta 14,5 Km.
Dopo una bella fetta di Schwarzwälder Kirschtorte ci concediamo un lungo e meritato riposo.

Non poteva mancare una visita notturna alle cascate prima di cena.

Dulcis in fundo.... la nostra amata trota della foresta nera con patate duchessa (Forelle Gasthof-art).

Il sabato notte la nevicatina è continuata a tratti e la domenica Triberg era lievemente imbiancata.

Un avvincente percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 1: I pitagorici

Dopo aver riascoltato quest'interessantissima trasmissione radiofonica di Piergiorgio Odifreddi ho pensato di ripercorrere e approfondire (per quanto possa consentirlo un blogghetto) l'avvincente percorso storico tra Numeri e Geometria che parte da Pitagora per arrivare alla fine del XX secolo.

Per molto tempo l'uomo usò il concetto di numero, le strutture geometriche e le verità (teoremi) relative ad essi in modo piuttosto automatico, utilitaristico e inconsapevole: i numeri erano molto utili; nella vita quotidiana, ma soprattutto nei commerci e in molte delle sette arti.
Quando si svilupparono civiltà più ricche e potenti che potevano permettersi di mantenere dei pensatori, si cominciò a riflettere sulla natura delle suddette entità numeriche e geometriche e soprattutto sulle verità (teoremi) relative ad esse.

Tra i primi (520 a.C circa) a sviluppare questo tipo di pensiero ci furono Pitagora e i pitagorici (una sorta di setta mistico/scientifica).
Il motto dei pitagorici era: Tutto è Numero. Dove per Numero i pitagorici intendono numero intero; e cioè l'insieme dei numeri {1,2,3,4,ecc.} che in matematica moderna viene anche denominato insieme dei numeri naturali e rappresentato con
Inoltre i pitagorici conferivano al numero un significato mistico, che andava oltre quello astratto/calcolistico. Per i pitagorici il numero era anche qualcosa di reale di concreto.
In più, secondo la scuola, il mondo era costituito da Numeri e rapporti tra di essi; e cioè dall'insieme dei numeri {1,1/2,1/3,1/4,..., 2,2/3,2/5...3,3/2,3/4,ecc.} che in matematica moderna viene anche denominato insieme dei numeri razionali (da ratio, rapporto) e rappresentato con
Dunque il mondo sarebbe stato completamente misurabile (nei suoi vari fenomeni, in biologia, in astronomia, in musica, in fisica), e la comprensione dei numeri avrebbe consentito la comprensione dell'esistenza stessa. La "misurabilità" del mondo avrebbe quindi conferito alla realtà della natura ordine e armonia.

Finché un giorno qualcuno della scuola non si accorse che la diagonale del quadrato non può essere misurata in termini di lato del quadrato. Cioè se assumiamo il lato come nostra unità di misura non riusciremo mai ad esprimere un rapporto di numeri interi che possa rappresentare la lunghezza della diagonale.

Questa scoperta creò dei problemi. Di che tipo? Lo vedremo nella prossima puntata....

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La Gang Dei Sogni - Luca Di Fulvio

Forse questo romanzo non susciterà profonde riflessioni. Forse non ci farà interrogare su grandi temi esistenziali. Però posso dire che mi ha trasmesso molte forti emozioni. Amore, dolore, violenza, tenerezza, leggerezza, e gioia. Ho proprio amato questo libro. Un amore di pancia.
Non c'è stata una singola riga che mi abbia annoiato.
I protagonisti erano diventati per me come dei vecchi amici a cui àuguri di realizzare tutti i sogni possibili.
A volte si dice che la lettura di un romanzo ti cattura al punto tale che non riesci più a smettere. Io ero combattuto tra questo sentimento e quello di non leggere troppe pagine per non finire troppo presto e abbandonare così le vite dei personaggi.

Penso che con "La Gang Dei Sogni" Luca Di Fulvio sia riuscito a superare persino il bellissimo e molto diverso "La scala di Dioniso".

Durante la trasmissione radiofonica "Tutti i colori del giallo" del 18/01/2009 si parlava de "La Gang Dei Sogni".
Uno dei primi commenti del conduttore è stato che Sergio Leone avrebbe sicuramente voluto trasformare il romanzo in una pellicola. È vero!! Ho pensato. È una storia veramente sergioleoniana! Forse è per questo che mi è piaciuta così tanto. Ha toccato corde molto simili a quelle che aveva toccato il mio amatissimo "C'era una volta in America" (secondo la mia pancia cinematografica uno tra i due tre migliori film che io abbia mai visto).

Durante la trasmissione radiofonica Vincenzo Salemme e Silvio Muccino hanno letto una pagina del libro in cui Muccino interpretava il ruolo del protagonista Christmas e Salemme quello del gangster. Hanno anche scherzato sul fatto di produrne un film. Chissà se effettivamente lo gireranno e se Muccino riuscirebbe ad interpretare la grande energia, solarità e gioia di vivere di Christmas? Sicuramente mi piacerebbe vedere l'eventuale pellicola. Certo se l'avesse potuta girare Sergio Leone.....


Per chi volesse saperne di più sulla trama e leggere una recensione migliore vada qui.